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PA - C5B - MAT554 : Équations d'évolution

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours est une introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles d'évolution. Ces dernières modélisent des systèmes non-stationnaires issus par exemple de la physique (mécanique des fluides, mécanique quantique, électromagnétisme, relativité…) ou de la biologie (réaction-diffusion…).

Ces équations décrivent l’évolution temporelle de quantités (vitesse, pression, fonction d’onde, concentration…) dépendantes d’une variable spatiale. La première question mathématique sous-jacente est celle du caractère bien posé : une configuration initiale fixée donne t-elle lieu à une solution de l’équation ? Si oui dans quel espace de fonctions ? Et quel sens donner à une telle solution ? Cette solution est-elle unique ? Existe t-elle pour tout temps, ou cesse t-elle d’exister en temps fini ?

Nous présenterons de manière auto contenue quelques résultats fondamentaux de la théorie des équations d'évolution. Concernant les équations linéaires autonomes, nous étudierons la théorie des semigroupes sur les espaces de Banach, qui fournit un cadre abstrait très général répondant aux questions ci-dessus. Nous expliquerons comment les équations de la chaleur, des ondes, de Schrödinger linéaires entrent dans ce cadre. Pour ce faire, nous aurons besoin à la fois de décrire des résultats abstraits d’analyse fonctionnelle et des espaces de fonctions adaptés à l’étude de nombreuses EDP (les espaces de Sobolev). Enfin, nous décrirons quelques problèmes d’évolution semi-linéaires, et la stratégie qui permet de les résoudre. Pour certaines équations de la chaleur et de Schrödinger non-linéaires, nous montrerons des résultats d’existence locale, d’existence globale. Nous finirons par décrire quelques phénomènes d’explosion en temps fini.

 Voici un plan indicatif du cours :

Chapitre 1 : Opérateurs linéaires

Chapitre 2. Espaces de fonctions (Espaces de Lebesgue et de Sobolev)

Chapitre 3. Théorie des semi-groupes

Chapitre 4. EDP d’évolution linéaires

Chapitre 5. Équations semi-linéaire.

 

Bibliographie

[1] Lawrence C. Evans : Partial Differential Equations. Graduate studies in Mathematics. AMS.

[2] Thierry Cazenave and Alain Haraux : Introduction aux problèmes d'évolution semi-linéaires. Ellipse.

[3] H. Brezis : Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson.

 

Niveau requis

Le seul prérequis est le cours de tronc commun, en particulier l’analyse Hilbertienne et la transformation de Fourier. 

 

 

 


Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Le seul prérequis est le cours de tronc commun, en particulier l’analyse Hilbertienne et la transformation de Fourier. 

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques et Applications - Voie Jacques Hadamard - École Polytechnique

Le rattrapage est autorisé

    Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

    Le rattrapage est autorisé
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      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

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