Descriptif

Les variétés différentielles sont des objets géométriques localement paramétrés par des systèmes de coordonnées, mais possédant globalement une topologie qui peut être non triviale. Elles sont de ce fait le langage naturel de la géométrie différentielle (riemannienne, symplectique, complexe, etc…), mais aussi de nombreuses théories physiques (relativité générale, théorie de jauge, etc…).

Ce cours a pour objectif de proposer une introduction aux variétés et à quelques-uns des concepts-clés qui leur sont associés : fibrés vectoriels, formes différentielles, et cohomologie de Rham. Il est aussi l'occasion de se familiariser au passage avec quelques outils d'un usage récurrent en mathématiques : topologie des espaces localement compacts, actions de groupes topologiques, produit tensoriel et algèbre extérieure, et quelques bases d'algèbre homologique.

Etant par définition localement modelées sur des espaces vectoriels, les variétés donnent lieu à un élégant formalisme de calcul différentiel, qui permet d’étudier les applications entre variétés en les linéarisant. Il peut être plus surprenant de prime abord que les variétés soient également le cadre naturel d’une riche théorie de l’intégration, où l’on intègre des éléments infinitésimaux de longueur, aire, volume, etc… incarnés par la notion de forme différentielle. Le formalisme associé est ici encore d’une magnifique concision, résumant par exemple d’un seul trait les opérateurs gradient, divergence et rotationnel de la mécanique des fluides et de l’électromagnétisme, et les formules d’intégration par parties qui les accompagnent.

La construction des formes différentielles s’appuie sur le concept tout aussi fructueux de fibré vectoriel, au coeur par exemple de la théorie de jauge. On introduira les bases de cette théorie, consistant à faire de l’algèbre (multi)linéaire sur une famille lisse d’espaces vectoriels.

Enfin, on introduira quelques rudiments de cohomologie de de Rham, qui encode via une machinerie relevant de l’algèbre (linéaire) homologique l’idée que les «trous» d’un espace peuvent être détectés en intégrant autour, et offre un premier contact avec la topologie algébrique.

Niveau requis : Une familiarité avec la première partie du cours MAT431 (sous-variétés d'un espace euclidien), si elle n'est pas absolument indispensable, est toutefois vivement recommandée.

Bibliographie :

- Lee : Introduction to smooth manifolds

- Milnor : Topology from the differentiable viewpoint.

- Bott et Tu : Differential forms in algebraic topology

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5