v2.11.0 (5518)

Programme d'approfondissement - FMA_51056_EP : Groupes, anneaux, modules et représentations

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours introduit des notions fondamentales d’algèbre. Une première partie est consacrée aux groupes finis et à leurs représentations linéaires (sur le corps des complexes). On y démontre les résultats principaux du sujet :

lemme de Schur, théorème de Maschke, théorème de Peter-Weyl, formule de Plancherel, orthogonalité des caractères… Le point de vue adopté est l’utilisation de la convolution et de la transformation de Fourier.

Dans une seconde partie, on s’intéresse aux anneaux A (non nécessairement commutatifs) et aux modules sur ces anneaux. Nous développons sous certaines hypothèses de finitude, quelques méthodes de classification (suites de composition, étude des extensions, etc). Nous considérons le cas où  A est principal et nous en déduisons, par exemple, la classification des groupes abéliens de type fini ou des classes de conjugaison de GL(n,k). 

Nous essayons au fil de ce cours d’introduire progressivement et sans formalisme excessif le langage, les concepts et les outils de la théorie des catégories, devenus indispensables à toute présentation avancée de nombreux domaines des mathématiques. La théorie des représentations se prête remarquablement à cette première approche.


 

Niveau requis : Il est conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois). 
Langue du cours : Français 

Objectifs pédagogiques

Acquisition de connaissances en algèbre générale

Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, vocabulaire sur les groupes, groupes symétriques

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Algèbre linéaire, réduction des endomorphismes, vocabulaire sur les groupes, groupes symétriques

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Il est conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

Vos modalités d'acquisition :

L'examen est un examen écrit de 3h. Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)

L'UE est acquise si note finale transposée >= C

  • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

    Vos modalités d'acquisition :

    L'examen est un examen écrit de 3h. Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)

    L'UE est acquise si note finale transposée >= C

    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

      Vos modalités d'acquisition :

      L'examen est un examen écrit de 3h. 

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)

      L'UE est acquise si note finale transposée >= C

      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        Programme détaillé

        I- Groupes et représentations

        I-1 Groupes et actions de groupes. Vocabulaire.

        I-2 Représentations linéaires des groupes finis : exemples, opérations sur les représentations, lemme de Schur, théorème de Maschke.

        I-3 Algèbre de convolution. Transformation de Fourier. Théorème de Peter-Weyl. Formule de Plancherel.

        I-4 Fonctions centrales et caractères.

        I-5 Représentations induites

         

        II- Anneaux et modules

        II-1 Anneaux, idéaux, modules : exemples, vocabulaire de base

        II-2 Opérations sur les modules. Atomisation et reconstruction. Suites de Jordan-Hölder

        II-3 Modules sur un anneau principal. Théorème de structure et applications (classification des groupes abéliens de type fini, classes de conjugaison de  GL(n,k), etc.) 

         

        Mots clés

        algèbre, représentations des groupes, anneaux, modules
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