Descriptif

La théorie des matrices aléatoires s'attache à l'étude de la distribution des valeurs propres et des vecteurs propres de matrices dont les coefficients sont aléatoires, et pour lesquels il existe un certain nombre de distributions classiques. Cette étude était à l'origine motivée par des applications à la physique (modélisation du spectre d'émission des atomes lourds); elle dispose aujourd'hui d'un corpus théorique très vaste et de multiples liens avec d'autres domaines, mathématiques (théorie des nombres, cartes aléatoires, équations aux dérivées partielles...), physique (théorie de la dispersion), ainsi que des applications aux neurosciences, à l'écologie théorique, et plus récemment à l'intelligence artificielle.

Cet E.A. propose un tour d'horizon des modèles et des théorèmes emblématiques de la théorie des matrices aléatoires. Y seront notamment traités :

- la loi du semi-cercle de Wigner pour les valeurs propres d'une matrice aléatoire hermitienne ;

- la loi circulaire de Girko pour les valeurs propres d'une matrice aux entrées i.i.d. ;

- les lois de Tracy-Widom et de Gumbel pour les fluctuations de la plus grande valeur propre ;

- la distribution du polynôme caractéristique d'une matrice aléatoire unitaire.

L'EA consiste en un cours de 2h par semaine.

En parallèle à l'enseignement, les élèves préparent un projet bibliographique sur un sujet de leur choix, donnant lieu à la rédaction d'un mémoire et à une soutenance orale en fin de période. Ces projets pourront concerner des aspects aussi bien théoriques qu'appliqués des matrices aléatoires. À titre d'exemple :

- Les trajectoires des valeurs propres d'une matrice soumise à une perturbation de faible rang ;

- La distribution des vecteurs propres dans les modèles non-hermitiens ;

- Les liens combinatoires entre matrices aléatoires, cartes aléatoires et permutations aléatoires ;

- L'étude de matrices aléatoires pour des modèles plus exotiques que ceux traités en cours (par exemple, sur le corps des quaternions ou sur les corps p-adiques) ;

- L'utilisation des matrices aléatoires en écologie théorique (notamment les questions liées au paradigme "complexité vs. stabilité");

- Les liens avec la théorie des nombres et la fonction zeta de Riemann ;

- les diverses applications des matrices aléatoires à l'étude des réseaux de neurones, réels ou artificiels.

Numerus clausus : 10.

Niveau requis: Des bases solides en algèbre linéaire et en théorie des probabilités aideront à la compréhension des concepts abordés.

Bibliographie indicative

- M.L. Mehta, Random Matrices

- G.W. Anderson, A. Guionnet, O. Zeitouni, An introduction to random matrices

Ces deux ouvrages sont des références incontournables du domaine. Par ailleurs, des articles de recherches plus récents seront indiqués pour accompagner l'étude de chaque chapitre du cours.

Langue du cours : français ou anglais selon la demande.