Descriptif

L’analyse qualitative des équations aux dérivées partielles a connu une révolution ces trente dernières années grâce à l’apport de multiples domaines des mathématiques : la théorie des systèmes dynamiques, l’analyse harmonique et fonctionnelle, le calcul des variations et la simulation numérique. Pourtant des questions fondamentales restent hors de portée, comme celle de la formation de singularités pour les équations de Navier Stokes en mécanique des fluides incompressible qui est un des dix problèmes du Millenium à l’interface des mathématiques fondamentales et appliquées.

 L’objet de ce cours est de présenter sur une équation modèle, l‘équation de Schrödinger nonlinéaire, les avancées spectaculaires réalisées ces trente dernières années sur la description qualitative des solutions. Nous étudierons notamment un objet central dans l’étude des ondes nonlinéaires, pertinent dans de nombreuses situations physiques allant de l’optique non linéaire à la physique des particules ou la mécanique des fluides : le soliton. Cet objet exceptionnel découvert à la fin du dix neuvième siècle est une onde qui se propage sans déformation ni atténuation dans un milieu non  linéaire.

 Le but de ce cours est de mettre en place les outils d’analyse pour la démonstration du résultat pionnier de stabilité de l’onde solitaire, Cazenave et Lions (1983), puis de la toute première classification de la bulle explosive, Merle (1992), qui a ouvert le champ immense d’investigation des dynamiques explosives au cœur d’une dynamique de recherche intense. Nous couvrirons en chemin de manière auto contenue tous les aspects de l’étude canonique d ‘une équation d’évolution non linéaire : théorie de Cauchy, méthodes variationnelles, description du flot en temps long, et une introduction à la simulation numérique des solitons et de leurs interactions.

Voici un plan indicatif du cours :

 Cours 1. Analyse fonctionnelle : espaces de Hilbert, compacité, convergence faible. Définition des espaces de Sobolev.

 Cours 2. Injections de Sobolev et compacité. Compacité de l’injection radiale. Inégalités d’interpolation à la Gagliardo-Nirenberg.

 Cours 3. Introduction à l’équation de Schrödinger non linéaire: théorie de Cauchy, lois de conservation et existence globale.

 Cours 4. Invariance de Galilée et ondes solitaires : une exploration par simulation numérique.

 Cours 5. Construction de l’onde solitaire par méthodes variationnelles.

 Cours 6. Stabilité de l’onde solitaire : la méthode de concentration compacité et le théoreme de Cazenave-Lions.

 Cours 7. Dispersion et explosion pour (NLS) : symétrie pseudo conforme et identité du viriel.

 Cours 8. Stabilité orbitale et explosion à masse minimale.

 Cours 9. Classification de la bulle explosive et démonstration du Théorème de Merle.

 Bibliographie

[1] G. Allaire et P.-L. Lions : Analyse numérique et optimisation, cours de l’École polytechnique.

[2] F. Bethuel : Méthodes géométriques et topologiques en EDP, École polytechnique.

[3] H. Brezis : Analyse fonctionnelle. Théorie et applications, Masson.

[4] T. Cazenave : Semilinear Schrodinger equations, Courant Lecture notes, NYU.

[5] R. Danchin : Notes de cours d’analyse fonctionnelle, http://perso-math.univ-mlv.fr/users/danchin.raphael/teaching.html

[6] R. Danchin : Cours d’analyse non linéaire MAT 554 (ancienne version), http://perso-math.univ-mlv.fr/users/danchin.raphael/teaching.html

 [7] F. Golse : Distributions, analyse de Fourier, EDP. Cours de l’École polytechnique, MAT431.

[8] R. Danchin, P. Raphaël,  Analyse non linéaire : sur la stabilité des ondes solitaires, Ecole Polytechnique 2016, http://math.unice.fr/~praphael/Teaching.html

 [9] Y. Martel, P. Raphaël, Sur la dynamique des solitons : stabilité, collision et explosion,  Gazette des Mathématiciens, no 122 (2009), 15--30.

Niveau requis

Le point de vue délibéré de ce cours est de rester auto contenu. Le seul prérequis est le cours d’analyse Hilbertienne de tronc commun (bases hilbertiennes, convergence faible et opérateurs compacts), et la connaissance des résultats de base sur  la transformation de Fourier continue (notamment Plancherel et le prolongement L^2).

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5