v2.11.0 (5518)

Programme d'approfondissement - PHY_52060_EP : Systèmes Complexes

Domaine > Physique.

Descriptif

PHY560A - SYSTÈMES COMPLEXES

Le but de ce cours sur les « systèmes complexes » est de montrer comment les concepts et les techniques développés en mécanique statistique et en théorie des probabilités peuvent être pertinents pour étudier l’émergence de la complexité. Nous mettrons l’accent sur certaines idées-clés telles que l’invariance d'échelle, l’universalité, ou le mouvement brownien et les phénomenes critiques pour expliquer comment des modèles élémentaires, qui présentent souvent des structures mathématiques isomorphes, peuvent être appliqués à de nombreux domaines. Ces idées seront illustrées par des exemples tirés de la géométrie aléatoire, des processus de croissance, des transitions de phase, des modèles génétiques, de la percolation sur réseaux, du codage de l’information et de la finance.

 

Prérequis : Des concepts seront développés pendant ce cours et il n'y a pas de prérequis particuliers. Se familiariser avec la physique statistique (PHY433 - Physique statistique) et/ou la théorie des probabilités (tel que MAP361 - Aléatoire) peut être utile.
Langue : Anglais

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 PHYS - Physique

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

        Programme détaillé

        1. UNIVERSALITÉ ET LOIS D'ÉCHELLE : une approche probabiliste.

        Nous étudierons l’émergence de lois d’échelle universelles en théorie des probabilités : Loi des grands nombres, Théorème de la limite centrale, Distributions stables de Lévy, Distributions limites du maximum et minimum de variables aléatoires identiques et indépendantes. Nous conclurons par une introduction aux matrices aléatoires (loi de Wigner).

         

        2. MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQUATION DE LANGEVIN ET INTÉGRALES DE CHEMIN.

        Après avoir examiné le mouvement brownien (du point de vue physique), nous présenterons
        l’équation de Langevin, modèle de toute équation différentielle stochastique. Nous
        définirons la mesure de Wiener et les intégrales de chemins, outils fondamentaux pour
        l’analyse contemporaine et la physique théorique. Ces concepts seront appliqués
        à l'analyse d'un modèle simple d'évolution d'un actif et à une preuve de la Loi d’Arrhenius.

         

        3. GÉOMÉTRIE ALÉATOIRE ET FRACTALES.

        Les fractales sont des objets géométriques, de dimension non-entière, qui présentent
        naturellement des propriétés d'invariance d’échelle. Leur version aléatoire permet
        de définir de nouvelles classe de processus stochastiques qui généralisent
        le mouvement brownien et sont utilisées pour décrire les séries temporelles
        apparaissant dans des contextes divers (données climatiques et géologiques, finance...).

         

        4. DYNAMIQUE STOCHASTIQUE.

        Le but de ce chapitre plus théorique est d'étudier les propriétés de réversibilité des Processus de Markov et d'obtenir les équations de diffusion associées à un système d'équations stochastiques, avec des applications aux processus de croissance aléatoire, en particulier la dynamique de Kardar-Parisi-Zhang.

         

        5. THÉORIE DE L’INFORMATION.

        Nous présenterons les concepts de base de la théorie de l’information et de la communication : entropie, codage, transmission, modèles de canaux bruités, information mutuelle et
        capacité. Diverses interprétations de l’entropie de Shannon seront
        données et nous démontrerons le théorème fondamental de codage de Shannon.

         

        6. SYSTÈMES DÉSORDONNÉS.

        La mécanique statistique des systèmes désordonnés permet de développer une variété de
        concepts et techniques originales, allant de l'optimisation combinatoire à
        l’ingénierie, avec des applications à la physique de l’état solide
        (conduction quantique, localisation), à la biologie (protéines et réseaux neuronaux) ainsi qu'à la dynamique des populations. Nous discuterons des propriétés de base des verres de spin (paysage d'énergie complexe, frustration, vieillissement) et présenterons quelques outils théoriques spécifiques à ce domaine.

         

        7. PHÉNOMÈNES CRITIQUES ET GROUPE DE RENORMALISATION.

        Après avoir examiné divers phénomènes critiques du second ordre
        (transition liquide-gaz, ferromagnétique-paramagnétique) , nous expliquerons comment définir
        les classes d’universalité par des exposants critiques qui caractérisent l'invariance
        d’échelle. Les idées de base du groupe de renormalisation de Ken Wilson
        seront présentées (dans l’espace réel) afin d'expliquer comment ces exposants critiques
        peuvent être reliés à des dimensions d’échelle de (deux) champs pertinents.
        Cette théorie sera illustrée sur le modèle 2d Ising sur réseau triangulaire.

         

        8. RÉSEAUX.

        La théorie des réseaux a fourni un nouveau paradigme pour représenter et
        analyser les données. Elle repose sur la théorie des graphes. Nous discuterons des
        propriétés combinatoires élémentaires des graphes (théorème de Cayley, séquence de
        Prufere) et nous considèrerons des processus d’arbres branchants (modèle de Galton) et récursifs.
        Cela nous permettra d’étudier des réseaux invariants d’échelle et leurs propriétés de connectivité. Application à la transition de percolation dans le graphe d'Erdos-Renyi.

         

        9. MODÈLES DE FINANCE.

        Phénoménologie des marchés financiers : modèle de Bachelier et ses variantes. Statistiques des prix
        et intermittence. Options et produits dérivés : la stratégie Black-Scholes.
        Analyse en temps discret du modèle de Cox, Ross et Rubinstein et sa
        limite continue. Formule de Black, Scholes et Merton.

        Veuillez patienter