v2.11.0 (5518)

Programme d'approfondissement - FMA_52063_EP : Groupes compacts et groupes de Lie

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours à pour objet l'étude de  deux classes de groupes et certains aspects de leur théorie des représentations.  Dans la première partie, nous étudions les groupes compacts. Outre les groupes finis, cette classe de groupes contient les limites projectives de groupes finis (qui peuvent apparaître comme groupe de Galois d'extension infinie), et des groupes de matrices comme O(n) ou SU(n).

On généralise la théorie des représentations à ces groupes, en imposant des conditions topologiques (continuité)pour que leur étude reste possible et pertinente.  Le résultat  principal de cette partie est le théorème de Peter-Weyl, que nous  abordons via la notion de transformation de Fourier.

 

Dans la deuxième  partie du cours, on étudie les groupes linaires, c'est-à-dire les groupes se réalisant comme groupe de matrices. L'outil principal ici est le calcul différentiel, qui permet en  particulier d'introduire la notion d'algèbre de Lie d'un groupe linéaire. On introduit aussi  du vocabulaire et quelques résultats concernant les algèbres de Lie, indépendants de la théorie des groupes. On étudie la correspondance entre groupes  et algèbre de Lie, les problèmes de connexité et la notion de revêtement de groupes. Les représentations de dimension finie de ces groupes sont étudiées via l'action de leur algèbre  de Lie.

On met en commun ensuite les résultats obtenus pour étudier de manière approfondie la théorie des représentations de certains  groupes de Lie linéaires compacts (d'abord SU(2) et SO(3),  puis SU(n)). 

Les groupes et la théorie de leurs représentations constituent  un domaine central des mathématiques, à la fois par les  nombreuses et très riches applications (physique, arithmétique, etc), mais aussi par la diversité des outils nécessaires à leur étude (algèbre, topologie, analyse fonctionnelle, langage de la théorie des catégorie).

 

Pré-requis : théorie des représentations des groupes finis (par exemple MAT556), rudiments de topologie générale et d'analyse fonctionnelle.

 

Plan indicatif du cours :

1- Groupes topologiques, exemples (groupes profinis, groupes de matrices, etc), et généralités.

2- Groupes localement compacts et compacts. Mesure de Haar, espaces L^p(G)

3 - Représentations des groupes compacts. Transformation de Fourier.

4- Représentations des groupes compacts, suite. Théorème de Peter-Weyl. Théorie des caractères.  

5- Groupes linéaires. Applications exponentielle. Algèbre de lie

6- Connexité et correspondance de Lie

7- Homomorphismes et revêtements. Représentation de dimension finie

8- SU(2), SO(3), les harmoniques sphériques

9- SU(n) et le théorème du plus haut poids. 

 

Bibliographie :

A. Kirillov. Éléments de la théorie des représentations. Éditions Mir, Moscow, 1974. 

Mark R. Sepanski. Compact Lie groups, volume 235 of Graduate Texts in Mathematics. Springer, New York, 2007

Alain Robert. Introduction to the representation theory of compact and locally compact groups, volume 80 of London Mathematical Society Lecture Note Series. Cambridge University Press, Cambridge, 1983

 
Langue du cours : Français ou anglais sur demande)

Objectifs pédagogiques

Acquerir des connaissances en mathématiques

 

4 heures en présentiel (9 blocs ou créneaux)

4 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.

effectifs minimal / maximal:

/42

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Il est conseillé d'avoir suivi MAT556 ou un autre cours de théorie des représentations des groupes finis

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Il est conseillé d'être familier avec les notions de base de la théorie des représentations des groupes finis

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Vos modalités d'acquisition :

L'examen final écrit de 3h. 

 

L'UE est acquise si note finale transposée >= C

  • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

    Vos modalités d'acquisition :

    L'examen final écrit de 3h.

     

    L'UE est acquise si note finale transposée >= C

    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

      Programme détaillé

      Plan indicatif du cours :

      1- Groupes topologiques, exemples (groupes profinis, groupes de matrices, etc), et généralités.

      2- Groupes localement compacts et compacts. Mesure de Haar, espaces L^p(G)

      3 - Représentations des groupes compacts. Transformation de Fourier.

      4- Représentations des groupes compacts, suite. Théorème de Peter-Weyl. Théorie des caractères.  

      5- Groupes linéaires. Applications exponentielle. Algèbre de lie

      6- Connexité et correspondance de Lie

      7- Homomorphismes et revêtements. Représentation de dimension finie

      8- SU(2), SO(3), les harmoniques sphériques

      9- SU(n) et le théorème du plus haut poids. 

       

      Mots clés

      groupe topologique, mesure de Haar, représentation, théorème de Peter-Weyl, groupe de Lie, algèbre de Lie

      Méthodes pédagogiques

      Cours au tableau, mise à disposition de notes de cours, moodle
      Veuillez patienter