v2.11.0 (5518)

Programme d'approfondissement - FMA_52062_EP : Introduction à la géométrie algébrique et courbes elliptiques

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique à travers l'exemple des courbes elliptiques, c'est-à-dire des courbes projectives planes non singulières définies par une équation de degré 3. Une propriété remarquable de ces courbes elliptiques est que leurs ensembles de points peuvent être munis d'une loi de groupe. La première partie du cours sera consacrée à la présentation du langage des variétés algébriques, plus précisément au théorème des zéros de Hilbert et à la géométrie projective. Quelques exemples du théorème d'intersection de Bezout seront étudiés. La seconde partie sera consacrée aux propriétés des courbes algébriques planes et plus particulièrement des courbes elliptiques. Les propriétés des courbes elliptiques seront étudiées sur différents corps : sur le corps des nombres complexes, où les courbes elliptiques s'identifient à des quotients de C par des réseaux; sur les corps finis, avec le théorème de Hasse qui donne une estimation du nombre de points de ces courbes elliptiques; et sur le corps des nombres rationnels, avec le célèbre théorème de Mordell. L'étude des courbes elliptiques sur les corps finis sera illustrée de quelques applications, à la cryptographie et aux algorithmes de factorisation. Dans le cas du corps des nombres rationnels, quelques exemples concrets où le groupe des points rationnels est déterminable seront étudiés. 

 

Bibliographie

  1. 1. J. H. Silverman, Arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag, New York, 1986.
  2. L. C. Washington, Elliptic curves, Number theory and cryptography. Second edition. Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008.
  3. M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet, Cambridge University Press, 2008.
  4. J. H. Silverman et J. Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, New York, 1992.

Niveau requis : Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

Langue du cours : Français ou Anglais

Objectifs pédagogiques

-Comprendre les bases de la géométrie algébrique.

-Etre capable de manipuler des courbes elliptiques sur divers corps: corps algébriquement clos, corps des nombres complexes, corps finis, corps des nombres rationnels.

36 heures en présentiel
réparties en:
  • Cours magistral : 18
  • Petite classe : 18

effectifs minimal / maximal:

/30

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir suivi un cours de théorie de Galois.

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Vos modalités d'acquisition :

Examen

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

    Vos modalités d'acquisition :

    Examen

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

      Programme détaillé

      1) Variétés affines.

      2) Variétés projectives.

      3) Courbes projectives planes et courbes elliptiques.

      4) Courbes elliptiques sur C.

      5) Endomorphismes et torsion des courbes elliptiques.

      6) Courbes elliptiques sur les corps finis.

      7) Courbes elliptiques sur Q.

      Mots clés

      Géométrie algébrique, courbes elliptiques

      Méthodes pédagogiques

      Cours magistraux, séances de TD
      Veuillez patienter