v1.16.1

PA - C3B - MAT561 : Théorie spectrale et mécanique quantique

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie est étonnamment plus subtile que celle des matrices hermitiennes en dimension finie. Pourtant, de nombreux problèmes physiques ou mécaniques se ramènent à la résolution d'un problème aux valeurs propres dont l'inconnue est une fonction, ou à une équation aux dérivées partielles linéaire qui peut être étudiée avec des méthodes spectrales.

 Développée par Hilbert à la fin du 19ème siècle, la théorie spectrale a connu une envolée après la découverte de la mécanique quantique et de l'équation de Schrödinger dans les années 1920-30.

 Dans ce cours, nous verrons les bases de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie, et nous donnerons quelques applications choisies à la mécanique quantique, avec une attention particulière aux opérateurs décrivant les atomes et les molécules.

 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques et Applications - Voie Jacques Hadamard - École Polytechnique

Prérequis : Théorie des distributions, analyse fonctionnelle. Des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours.  

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Prérequis : Théorie des distributions, analyse fonctionnelle. Des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours.  

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques et Applications - Voie Jacques Hadamard - École Polytechnique

Programme détaillé

Contenu du cours :

- auto-adjonction, exemples et contre-exemples

- spectre(s)

- théorie de Rellich-Kato et de Weyl

- théorème spectral et calcul fonctionnel

- formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs

- équation de Schrödinger

- Laplacien sur un ouvert borné et conditions au bord

- opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène

- propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules

- atomes et molécules

- atomes lourds et limite semi-classique

 

Bibliographie :

B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995.

M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. IV. Analysis of operators, Academic Press, 1978.

E.H. Lieb, R. Seiringer, The Stability of Matter in Quantum Mechanics, Cambridge Univ. Press, 2010.

É. Cancès, C. Le Bris, Y. Maday, Méthodes mathématiques en chimie quantique, une introduction, Springer, 2006.

 

Mots clés

théorie spectrale, opérateurs auto-adjoints, mécanique quantique
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