Descriptif

Ce cours constitue la suite du cours "Groupes et représentations" MAT556, mais en se plaçant dans une optique plus géométrique et analytique qu’algébrique.

L’étude des groupes de matrices compacts permet à la fois d’illustrer la théorie générale mais également de la raffiner en obtenant une classification complète des représentations irréductibles. Cette théorie est centrale aussi bien en arithmétique (via les représentations automorphes et le programme de Langlands) qu’en physique. La connaissance du cours MAT556 paraît indispensable, et celle de MAT553 pourra être utile.

Nous commencerons par étudier la théorie générale des représentations des groupes compacts. Une fois acquise l’existence de la mesure de Haar, cette théorie est complètement parallèle à celle des représentations des groupes finis abordées dans le cours MAT556. En effet, la mesure permet de moyenner des fonctions sur le groupe, phénomène à l’origine de toutes les propriétés agréables des représentations des groupes compacts.

Toutefois, on peut dans certains cas aller beaucoup plus loin et obtenir une classification précise des représentations irréductibles. Nous donnerons l’exemple des deux groupes compacts non abéliens les plus simples, SU2(C) et SO3(R), qui sont presque les mêmes. Nous donnerons des applications à la théorie des représentations des groupes non compacts SL2(R) et SL2(C). Nous aborderons ensuite la théorie des groupes et des algèbres de Lie comme outil pour la théorie des représentations. Un groupe de Lie n’est autre qu’un groupe de matrices, et son algèbre de Lie est son plan tangent en l’origine. Les algèbres de Lie capturent donc des phénomènes au premier ordre. Permettant de linéariser la théorie des groupes, elles sont omniprésentes en mathématiques et en physique. Nous introduirons surtout du vocabulaire nécessaire pour la suite : caractères et systèmes de racine.

Nous définirons enfin les groupes de Lie compacts, comme par exemple SOn(R) et SUn(C), et classifierons complètement leurs représentations irréductibles. On terminera si le temps le permet par quelques indications sur la suite de la théorie dans le cas non compact (qui est beaucoup plus difficile et constitue un sujet de recherche toujours actuel).

Bibliographie :

[BD] T. Bröcker et T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer.

[D] J. F. Dat, Cours introductif de M2 Groupes et Algèbres de Lie, note de cours sur internet (2012).

[Ki] A. Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie Algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113.

[Ko] E. Kowalski, Representation theory, note de cours sur internet.

[M] F. Murnaghan, Representations of locally compact group, Fall 2013, notes de cours sur internet.

[S] M. Sepanski, Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 235, Springer.

 
Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5