v2.11.0 (5380)

PA - C3B - MAT561 : Théorie spectrale et mécanique quantique

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie est étonnamment plus subtile que celle des matrices hermitiennes en dimension finie. Pourtant, de nombreux problèmes physiques ou mécaniques se ramènent à la résolution d'un problème aux valeurs propres dont l'inconnue est une fonction, ou à une équation aux dérivées partielles linéaire qui peut être étudiée avec des méthodes spectrales. Développée par Hilbert à la fin du 19ème siècle, la théorie spectrale a connu une envolée après la construction de la mécanique quantique et de l'équation de Schrödinger dans les années 1920-30, avec en particulier les travaux de Stone et de Von Neumann. Dans ce cours, nous verrons les bases de la théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints en dimension infinie, et nous donnerons quelques applications choisies à la mécanique quantique, avec une attention particulière aux opérateurs décrivant les atomes et les molécules.

 

Contenu du cours :

- auto-adjonction, exemples et contre-exemples

- spectre

- théorie de Rellich-Kato et de Weyl

- formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs

- théorème spectral et calcul fonctionnel

- équation de Schrödinger

- opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène

- propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules, atomes et molécules

 

Bibliographie

Polycopié en français distribué aux élèves

M. Lewin, Théorie spectrale et mécanique quantique, Série Mathématiques et Applications (SMAI), Springer International Publishing, 2022

B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995

M. Reed, B. Simon, /Methods of Modern Mathematical Physics. Volumes I, II et IV/. Academic Press, 1978.

Niveau requis

- éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des distributions

- des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours

 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Prérequis : - éléments d’analyse de Fourier et de la théorie des distributions - des connaissances préalables en mécanique quantique pourront aider, mais ne sont pas nécessaires pour suivre le cours  

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 Mathematiques Jacques Hadamard

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI

    Vos modalités d'acquisition :

    - Un DM à rendre comptant pour 1/3 de la note

    - Un examen écrit de 3h (documents autorisés)

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

      Vos modalités d'acquisition :

      - Un DM à rendre comptant pour 1/3 de la note

      - Un examen écrit de 3h (documents autorisés)

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

        Programme détaillé

        Contenu du cours :

        - auto-adjonction, exemples et contre-exemples

        - spectre(s)

        - théorie de Rellich-Kato et de Weyl

        - théorème spectral et calcul fonctionnel

        - formes quadratiques, théorèmes de Lax-Milgram et Riesz-Friedrichs

        - équation de Schrödinger

        - Laplacien sur un ouvert borné et conditions au bord

        - opérateurs de Schrödinger pour une particule, oscillateur harmonique, atome d'hydrogène

        - propriétés spectrales des opérateurs décrivant plusieurs particules

        - atomes et molécules

        - atomes lourds et limite semi-classique

         

        Bibliographie :

        B. Davies, Spectral theory and differential operators, Cambridge Univ. Press, 1995.

        M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics. IV. Analysis of operators, Academic Press, 1978.

        E.H. Lieb, R. Seiringer, The Stability of Matter in Quantum Mechanics, Cambridge Univ. Press, 2010.

        É. Cancès, C. Le Bris, Y. Maday, Méthodes mathématiques en chimie quantique, une introduction, Springer, 2006.

         

        Mots clés

        théorie spectrale, opérateurs auto-adjoints, mécanique quantique
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