Descriptif

Ce cours introduit les notions de base de la théorie des probabilités, c'est-à-dire l'analyse mathématique de phénomènes dans lesquels le hasard intervient. Il insistera en particulier sur les deux notions majeures qui sont les fondements de cette théorie : le conditionnement et la loi des grands nombres. L'enseignement a pour objectif l'acquisition du raisonnement probabiliste et l'apprentissage de la modélisation probabiliste et de la simulation. Cette modélisation est fondamentale dans de nombreux domaines d'applications. Le cours est illustré par des exemples et des expérimentations numériques sur des notebooks Python. Il introduit aussi quelques notions de la théorie de la mesure (qui est le fondement axiomatique de la théorie des probabilités) et il offre une ouverture vers la statistique. Pendant cet enseignement, les élèves réaliseront un projet de simulation (Python) en binôme qui sera pris en compte pour la note du module.

Contenu :

leçon 1 : Exemples de modèles discrets

• probabilité discrète, loi uniforme et calcul combinatoire, ensemble fondamental, événements, tribu
• probabilité conditionnelle, probabilités totales, formule de Bayes
• événements indépendants
• lemme de Borel-Cantelli
• variables aléatoires sur un espace au plus dénombrable, lois discrètes, lois usuelles, espérance, fonctions génératrices
• loi et espérance conditionnelle pour des lois discrètes

leçon 2 : Mesure, probabilités et variables aléatoires réelles

• tribu, tribu borélienne, probabilité (mesure abstraite), espace de probabilité
• mesure de Lebesgue
• variable aléatoire réelle (fonction mesurable), loi
• fonction de répartition
• variable aléatoire réelle à densité (intégration et dérivation)
• lois uniforme, exponentielle, normale
• simulation par inversion de la fonction de répartition

leçon 3 : Espérances de variables aléatoires réelles

• espérance (intégrale de Lebesgue pour la mesure abstraite), variance, propriété de transfert
• espérances et variances des lois usuelles
• calcul de la loi d'une v.a. réelle par la méthode de la fonction muette (changement de variable)
• covariance etre deux variables aléatoires, coefficient de corrélation
• inégalités : Markov, Jensen, Bienaymé-Chebyshev, Cauchy-Schwarz
• vecteur aléatoire

leçon 4 : Vecteurs aléatoires

leçon 5 : Vecteurs al ́eatoires : calculs de lois, vecteurs gaussiens

• somme de v.a. indépendantes
• changement de variables vectorielles
• simulation de loi gaussienne par algorithme de Box-Muller
• vecteur gaussien et propriétés
• régression linéaire

leçon 6 : Théorèmes de convergence

• différents modes de convergence et leurs liens
• convergence presque sûre
• convergence en moyenne
• convergence en probabilité
• théorèmes de convergence monotone et convergence dominée
• lois des grands nombres

leçon 7 : Convergence en loi - Théorème de la limite centrale

• convergence en loi
• ... et convergence en probabilité
• théorème de Slutsky
• fonctions caractéristiques
• caractérisation d’un vecteur gaussien
• théorème de Lévy
• Théorème de la limite centrale

leçon 8 : Applications du théorème de la limite centrale : Estimation statistique

• Méthode Delta
• Théorème de la limite centrale pour des vecteurs aléatoires
• Statistique:
  • Estimateurs
  • Biais, risque quadratique moyen
  • Convergence, normalité asymptotique
  • Méthode des moments
  • Estimateur par maximum de vraisemblance

leçon 9 : Statistique : Intervalle de confiance

• Intervalles de confiance
• Calcul exact dans le cas gaussien
• Calcul approché dans le cas général

Langue du cours : Français

Crédits ECTS : 5