v2.11.0 (5596)

Programme d'approfondissement - FMA_52068_EP : Équation des ondes et relativité générale - Mathématiques

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

L’équation des ondes est présente dans la modélisation de nombreux systèmes physiques : cordes vibrantes, électromagnétisme... En relativité générale, l’équation des ondes peut être vue comme une première approximation des équations d’Einstein pour décrire la propagation des déformations de l’espace-temps.

Dans ce cours, nous commencerons par introduire les bases de géométrie riemannienne et lorentzienne nécessaires à la formulation de la théorie de la relativité générale. Celle-ci sera ensuite introduite brièvement (les élèves sont invités à suivre en parallèle le cours PHY568 pour une présentation physique plus approfondie). La deuxième partie du cours sera sur l'étude des équations des ondes : dans l'espace-temps de Minkowski, en espace-temps courbe, puis non linéaire, afin de donner un aperçu du caractère bien posé des équations d'Einstein 


Bibliographie

-J. Lee, Riemannian manifolds, Springer

-R. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press.

-L. Evans, Partial differential equations, AMS


Langue du cours : Français ou Anglais

Objectifs pédagogiques

Introduire des notions fondamentales de géométrie Riemannienne et d'analyse de l'équation des ondes.

45 heures en présentiel

3 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.

effectifs minimal / maximal:

5/25

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme M1 PHYS - Physique

Des notions de calcul différentiel, et d'analyse fonctionnelle (Espaces de Sobolev)

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Des notions de calcul différentiel, et d'analyse fonctionnelle (Espaces de Sobolev)

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Il est recommandé d'avoir suivi MAT432 ou MAT452, éventuellement MAT431

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 HEP - Physique des Hautes Energies

Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

Pour les étudiants du diplôme M1 PHYS - Physique

Vos modalités d'acquisition :

Devoir maison et examen, ou exposé (à discuter avec l'enseignant)

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

    Vos modalités d'acquisition :

    Devoir maison et examen

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

      Vos modalités d'acquisition :

      Devoir maison et examen, ou exposé (à discuter avec l'enseignant)

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        Programme détaillé

        Cours 1. Variétés différentielles, espace tangent.
        Cours 2. Fibré tangent, fibré cotangent, tenseurs, dérivée de Lie.
        Cours 3. Métrique, géodésiques, tenseur de courbure, isométries.
        Cours 4. Géométrie Lorentzienne et relativité générale.
        Cours 5. Formulation 3+1 des équations d'Einstein. Introduction à l'équation des ondes.
        Cours 6. L'équation d'onde linéaire et les espaces de Sobolev.
        Cours 7. Existence locale de solution pour un problème semi-linéaire.
        Cours 8. Le théorème de Choquet-Bruhat.
        Cours 9. Comportement en temps long des solutions.

        Mots clés

        Géométrie riemannienne
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