v2.11.0 (5596)

Programme d'approfondissement - FMA_51054_EP : Équations d'évolution

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Le cours Équations d'évolution est une introduction à la résolution des équations aux dérivées partielles d'évolution sous l'angle de la théorie des semi-groupes. Ces équations apparaissent entre autres dans la modélisation de systèmes non-stationnaires issus de la physique (par exemple : mécanique des fluides, mécanique quantique, électromagnétisme, relativité) ou de la biologie (réaction-diffusion). Dans de tels contextes, ces équations décrivent l’évolution temporelle de quantités (vitesse, pression, fonction d’onde, concentration) qui dépendent aussi d’une variable spatiale.

La première question mathématique concerne le caractère bien posé de l'équation : toute configuration initiale donne-t-elle une solution de l’équation ? Quel est le cadre fonctionnel le plus adapté ? Quel sens faut-il donner à une telle solution ? La solution est-elle unique ? Est-t-elle définie pour tout temps, ou au contraire cesse-t-elle d’exister en temps fini ?

Nous présenterons quelques résultats fondamentaux de la théorie des équations d'évolution. Concernant les équations linéaires autonomes, nous étudierons la théorie des semi-groupes sur les espaces de Banach, qui fournit un cadre abstrait général répondant aux questions ci-dessus. Nous expliquerons ensuite comment les équations linéaires de la chaleur, des ondes et de Schrödinger entrent dans ce cadre. Pour cela, nous mettrons en œuvre des résultats abstraits d’analyse fonctionnelle et des espaces de fonctions adaptés (notamment les espaces de Sobolev). Dans la deuxième partie du cours, nous décrirons une stratégie permettant de résoudre de façon générale des problèmes d’évolution semi-linéaires par point fixe de Banach. Pour les équations de la chaleur et d'onde non-linéaires, nous montrerons des résultats d’existence locale et d’existence globale. Nous finirons par identifier quelques phénomènes d’explosion en temps fini.

 

Le polycopié du cours sera en anglais et le cours est susceptible d'être enseigné en anglais selon l'audience.

 

Plan du cours

Chapitre 1: Opérateurs non-bornés
 
Chapitre 2: Semi-groupes d'opérateurs
 
Chapitre 3: Problème de Cauchy abstrait
 
Chapitre 4: L'équation de Klein-Gordon non linéaire
 
Chapitre 5: L'équation de la chaleur non linéaire

 

Bibliographie
  • H. Brezis. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations. Universitext. Springer, New York (2011).

  • T. Cazenave and A. Haraux. An introduction to semilinear evolution equations, volume 13 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York (1998).

  • K.-J. Engel and R. Nagel. One-parameter semigroups for linear evolution equations, volume 194 of Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, New York (2000).

  • L. C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, second edition (2010).

  • A. Pazy. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, volume 44 of Applied Mathematical Sciences. Springer-Verlag, New York (1983).

 

Niveau requis

Le seul prérequis est le cours de tronc commun. Il est toutefois utile d'avoir suivi les cours 'Distributions, Analyse de Fourier et EDP' et 'Analyse Fonctionnelle' de deuxième année.

 

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Le seul prérequis est le cours de tronc commun. Il est toutefois utile d'avoir suivi les cours 'Distributions, Analyse de Fourier et EDP' et 'Analyse Fonctionnelle' de deuxième année.

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

Vos modalités d'acquisition :

Il y aura un devoir maison et un examen final (examen écrit de 3 heures, documents de cours autorisés). La note finale sera calculée par max(Examen ; 0.75*Examen + 0.25*Devoir maison).

L'UE est acquise si la note finale transposée est ≥ C.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

    Vos modalités d'acquisition :

    Il y aura un devoir maison et un examen final (examen écrit de 3 heures, documents de cours autorisés). La note finale sera calculée par max(Examen ; 0.75*Examen + 0.25*Devoir maison).

    L'UE est acquise si la note finale transposée est ≥ C.

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

      Vos modalités d'acquisition :

      Il y aura un devoir maison et un examen final (examen écrit de 3 heures, documents de cours autorisés). La note finale sera calculée par max(Examen ; 0.75*Examen + 0.25*Devoir maison).

      L'UE est acquise si la note finale transposée est ≥ C.

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

        Programme détaillé

        Plan du cours

        Chapitre 1 : Opérateurs non bornés
         
        Chapitre 2 : Semi-groupes d'opérateurs
         
        Chapitre 3 : Problème de Cauchy abstrait
         
        Chapitre 4 : L'équation de Klein-Gordon non linéaire
         
        Chapitre 5 : L'équation de la chaleur non linéaire

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