Descriptif
Algèbre linéaire 1 est un cours intensif de 14 semaines visant à introduire les notions fondamentales de l’algèbre linéaire : espaces vectoriels, applications linéaires, calcul matriciel et déterminants. Ces outils constituent une base indispensable pour la poursuite des autres disciplines du programme. Les cours magistraux sont complétés par des séances d’exercices, qui permettent à la fois de consolider la maîtrise des concepts essentiels et de développer la capacité de raisonnement abstrait à travers des problèmes plus avancés.
Objectifs pédagogiques
Exprimer des concepts abstraits de manière logique et construire des démonstrations mathématiques de niveau licence en utilisant le formalisme approprié.
Cet objectif est atteint grâce au travail personnel des étudiants sur le contenu des cours (par exemple la complétion d’arguments laissés à titre d’exercice), ainsi qu’aux exercices développés proposés en séances de travaux dirigés. Ces activités entraînent la pensée logique et abstraite en guidant les étudiants à travers la démonstration de résultats élémentaires.
Décrire et discuter les propriétés algébriques, topologiques et géométriques des espaces vectoriels.
Cet objectif est travaillé à travers des exercices qui invitent à donner une représentation ou une interprétation géométrique (droites, plans, intersections, projections, etc.), permettant de relier les propriétés algébriques à des images concrètes.
Résoudre correctement des équations linéaires, algébriques et différentielles.
Un des buts principaux du cours est de fournir les outils permettant de résoudre de façon systématique des systèmes d’équations linéaires. Dès les premières séances, les étudiants s’exercent à la mise en pratique de ces méthodes, en manipulant les techniques de base et en développant une compréhension des stratégies générales de résolution.
Formuler et expliquer les principes fondamentaux de l’algèbre.
À travers les exercices, les étudiants sont amenés à comprendre et expliquer les règles fondamentales de l’algèbre linéaire. Des exercices plus poussés montrent aussi comment ces principes permettent d’aborder d’autres questions d’algèbre, et une introduction à la théorie des groupes et aux polynômes complètent l’apprentissage.
Utiliser le raisonnement logique et les acquis scientifiques pour étayer des conclusions solides.
Le cours et les exercices visent à habituer les étudiants à un raisonnement logique et abstrait. Ils sont encouragés à évaluer de façon critique la complétude de leurs propres résultats, ce qui fait partie intégrante du processus d’apprentissage scientifique.
Pour les étudiants du diplôme Bachelor of Science de l'Ecole polytechnique
Une familiarité avec les mathématiques de niveau lycée est attendue.
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade américainPour les étudiants du diplôme Bachelor of Science de l'Ecole polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
Évaluation
L’évaluation combine le contrôle continu et l’examen final. Le contrôle continu, constitué de contrôles courts et d’un examen partiel, représente 50 % de la note finale. Cette évaluation est complétée par un examen final qui détermine les 50 % restants.
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Contrôles courts (30 %)
Deux contrôles auront lieu pendant les séances de travaux dirigés.-
Format : examen fermé — aucun document, aucun support électronique, uniquement papier et stylo.
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Durée : 1 heure (le reste de la séance est consacré aux exercices habituels).
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Poids : chaque contrôle compte pour 15 % de la note finale.
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Examen partiel (20 %)
L’examen intermédiaire se déroulera pendant un cours magistral.-
Format : examen fermé — aucun document, aucun support électronique, uniquement papier et stylo.
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Durée : 1h30.
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Poids : 20 % de la note finale.
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Examen final (50 %)
L’examen final aura lieu après la fin du cours.-
Format : examen fermé — aucun document, aucun support électronique, uniquement papier et stylo.
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Durée : 2 heures.
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Poids : 50 % de la note finale.
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Informations complémentaires
Des épreuves de substitution sont prévues pour l’ensemble des contrôles et examens, sur justification.
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
Le cours couvre les thèmes suivants :
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Notions de groupes.
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Espaces vectoriels sur le corps des nombres rationnels, réels ou complexes ; sous-espaces vectoriels, sommes et sommes directes de sous-espaces.
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Enveloppe linéaire, indépendance linéaire, bases, dimension, formule de Grassmann.
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Applications linéaires : noyau, image et leurs dimensions ; monomorphismes, épimorphismes, isomorphismes ; formes linéaires et introduction à la dualité.
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Matrices et calcul matriciel : matrice d’une application linéaire et ses propriétés, matrice de changement de base.
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Permutations et formes multilinéaires alternées ; déterminant d’un endomorphisme et d’une matrice, applications à l’indépendance linéaire et au calcul du rang.
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Résolution de systèmes linéaires.