v1.16.1

Cours courts - MAP411 : Approximation numérique et optimisation

Domaine > Mathématiques appliquées.

Descriptif

Ce cours est une introduction à la simulation numérique et à l'optimisation qui sont des ingrédients indispensables à l'analyse qualitative et quantitative de tous les modèles ou systèmes issus des sciences, de la technologie ou de l'industrie et des services.

Le cours est divisé en trois parties.
Les deux premières sont consacrées à l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles qui constituent la grande majorité des modèles physiques. La première partie porte sur la méthode des différences finies. La deuxième introduit la notion de formulation variationnelle qui conduit à la méthode des éléments finis que l'on présentera en dimension 1 d'espace par souci de simplicité. Enfin, la troisième partie est dédiée à l'optimisation et à ses algorithmes numériques de type gradient.

Au delà ses aspects techniques, le cours se veut aussi une introduction à la modélisation mathématique qu'il est nécessaire de maîtriser dans tout processus innovant.

 




Les informations sont mises à jour sur le site personnel de l'enseignant :

http://www.cmap.polytechnique.fr/~allaire/cours_map411.html


Objectifs pédagogiques

Les outils mathématiques nécessaires à la compréhension de ce cours sont volontairement limités afin de permettre à tous les élèves de le suivre, quelle que soit leur filière d'origine. L'objectif du cours est que les élèves maitrisent les bases de la simulation numérique et de l'optimisation.


Des aspects plus mathématiques seront développés ultérieurement dans le cours MAP 431.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Il n'y a pas de pré-requis et le public visé est très large.

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Vos modalités d'acquisition :

Contrôle écrit, devoir maison, projet numérique, bonus en petites classes.

 

Notation du cours :

Note du module \( =\frac12\text{CC}+\frac18\max(\text{DV1},\text{CC})+\frac18\max(\text{DV2},\text{CC})+\frac14\text{TP}+(\text{bonus} \le 2) \)
 
avec :
  • CC = note du contrôle classant ;
  • TP = note du mini-projet de simulation numérique ;
  • DV1 = note du premier devoir obligatoire, DV2 = note du deuxième devoir obligatoire ;
  • Bonus attribué par les enseignants des petites classes.
  • Transformation de la note chiffrée en lettre par mes soins (suivant les instructions de la Direction des Etudes)...

 

Un polycopié sera distribué aux élèves au début du cours. Il peut aussi être téléchargé ici.

Il est fortement inspirée du livre "Analyse numérique et optimisation" édité par les Éditions de l'École Polytechnique. Voir cette page web pour plus d'informations et pour télécharger le livre.

Programme détaillé

Programme des amphis

Amphi 1 du 28/08: Chapitre I

  • Section 1.1
  • Section 1.2: Modélisation de la conduction thermique.
  • Section 1.4: Calcul numérique par différences finies.
  • Mots clés: modélisation, équation aux dérivées partielles, schéma numérique, condition de stabilité CFL, décentrement.

 

Amphi 2 du 04/09: Chapitre II (début)

  • Section 2.1
  • Section 2.2 (début): Différences finies pour l'équation de la chaleur. Exemples, consistance, précision, stabilité (analyse de Fourier et principe du maximum), convergence (théorème 2.2.20 de Lax).
  • Mots clés: schéma explicite ou implicite, ordre d'un schéma, condition de stabilité CFL.

 

Amphi 3 du 11/09: Chapitre II (fin)

  • Section 2.2 (suite): schémas multiniveaux, schémas multidimensionnels.
  • Section 2.3: équation d'advection.
  • Mots clés: condition de stabilité de Von Neumann, schéma diffusif ou dispersif, équation équivalente, schéma décentré.

 

 

Amphi 4 du 18/09: Chapitre III (début)

  • Section 3.1: approche variationnelle, formules de Green en dimension 1.
  • Section 3.2: éléments finis en dimension 1, résolution pratique.
  • Mots clés: formulation variationnelle, éléments finis, matrice de rigidité.

 

 

Amphi 5 du 25/09: Chapitre III (suite)

  • Section 3.2: analyse de convergence en dimension 1.
  • Section 3.3: problèmes d'évolution, résolution pratique.
  • Section 3.4: problèmes aux valeurs propres, résolution pratique.
  • Mots clés: matrice de masse.

 

 

Amphi 6 du 02/10: Chapitre III (fin)

  • Section 3.4: problèmes aux valeurs propres, résolution pratique.
  • Sections 3.5 et 3.6: algèbre linéaire pour la résolution de systèmes linéaires et pour le calcul de valeurs et vecteurs propres.
  • Mots clés: systèmes linéaires, méthodes directes et itératives, problèmes aux valeurs propres.

 

Amphi 7 du 10/10: Chapitre IV (début)

  • Section 4.1: exemples de problèmes d'optimisation, analyse convexe.
  • Section 4.2 (début): notions de différentiabilité, conditions d'optimalité, inéquation d'Euler.
  • Mots clés: minimisation, convexité, contraintes convexes.

 

 

Amphi 8 du 16/10: Chapitre IV (suite)

  • Section 4.2 (fin): contraintes d'égalité et d'inégalité, multiplicateurs de Lagrange.
  • Section 4.3 (début): point selle, théorème de Kuhn et Tucker.
  • Mots clés: multiplicateurs de Lagrange, qualification des contraintes, lagrangien, Kuhn et Tucker.

 

 

Amphi 9 du 23/10: Chapitre IV (fin)

  • Section 4.4: méthodes numériques d'optimisation, algorithmes de gradient et de Newton, cas avec et sans contraintes.
  • Mots clés: gradient à pas fixe ou optimal, méthode de Newton, algorithme d'Uzawa.

 

 

Amphi 10 du 06/11: Chapitre IV (fin)
  • Section 4.3 (fin): dualité, notions de programmation linéaire.
  • Mots clés: dualité, programme linéaire.

Mots clés

analyse numérique, différences finies, éléments finis, optimisation

Méthodes pédagogiques

Des travaux pratiques avec le logiciel Python sont prévus lors des petites classes.
Veuillez patienter