Descriptif

Conjecture de Kadison-Singer et graphes de Ramanujan

Romain Tessera                                                                                                               

La conjecture de Kadison-Singer est un problème vieux de près de soixante ans, issu des fondements de la physique quantique. Après une longue liste d’essais infructueux par certains des plus grands mathématiciens de notre temps (notamment Bourgain), trois informaticiens théoriciens viennent d’en trouver une démonstration étonnamment simple et élégante. Par ailleurs, une série de travaux ont montré, depuis la fin des années 1970, que le problème de Kadison-Singer est équivalent a une série d'énoncés ouverts en algèbre linéaire, en analyse harmonique, en théorie des opérateurs, et en analyse du signal - énoncés qui se retrouvent donc démontrés du même coup.

L’objectif de ce modal est de décrypter les idées de cette brillante démonstration, laquelle mêle de manière astucieuse analyse complexe, algèbre linéaire et probabilités. Nous nous pencherons également sur diverses applications de ce résultat majeur, dont un remarquable en théorie des graphes : l’existence de graphes de Ramanujan (ce sont des graphes très « interconnectés »).

Ce sera donc une occasion unique de plonger au cœur de la recherche la plus en pointe, sans qu’aucun bagage théorique avancé ne soit nécessaire.

Références :

            1. Alain Valette: Séminaire Bourbaki « Le problème de Kadison-Singer » 

            2. P.G. Casazza, M. Fickus, J.C. Tremain et E. Weber, The Kadison-Singer problem in mathematics and engineering : a detailed account.

 Langue du cours : Français