v2.2.8 (2209)

Cours courts - MAP435 : Optimisation et Contrôle

Domaine > Mathématiques appliquées.

Descriptif

Ce cours est une introduction à l'optimisation et au contrôle de modèles dynamiques qui sont des outils indispensables à la conception et au bon fonctionnement des systèmes issus des sciences, de la technologie ou de l'industrie et des services.

La première partie du cours portera sur l'optimisation, avec ou sans contraintes, en dimension finie ou infinie. Après quelques aspects théoriques sur les conditions d'optimalité et l'existence d'optima, l'accent sera mis sur les algorithmes numériques de type gradient. Une attention particulière sera portée à certaines grandes classes de problèmes comme la programmation linéaire et la programmation quadratique séquentielle.

La seconde partie du cours étudiera le contrôle d'équations différentielles modélisant des problèmes d'évolution en temps. Les notions de contrôlabilité, d'état adjoint et le principe du minimum de Pontryaguine seront introduits.

Par delà de ces aspects techniques, le cours se veut aussi une illustration de la démarche des mathématiques appliquées, mélant modélisation, analyse mathématique et simulation numérique, qu'il est nécessaire de maîtriser dans tout processus innovant.

Objectifs pédagogiques

Donner aux étudiants les bases théoriques et pratiques de l'optimisation et du contrôle.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Pour les élèves ayant effectué leurs études en France : aucun autre prérequis que le niveau de connaissances acquis en classes préparatoires ou en premier cycle universitaire. Pour les autres élèves : algèbre linéaire, calcul différentiel, espaces de Hilbert.

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Vos modalités d'acquisition :

Le cours est évalué par un examen écrit final de 3 heures, un devoir obligatoire (à faire et à rendre de manière individuelle) et un bonus de 2 points maximum donné par l'enseignant de petites classes.

Le rattrapage est autorisé

    Programme détaillé

    Programme des amphis

     

    amphi 1:
    Introduction à l'optimisation, exemples, existence d'optima en dimension finie, analyse convexe.

    amphi 2:
    Existence d'optima en dimension infinie, calcul différentiel, inéquation d'Euler.

    amphi 3:
    Conditions d'optimalité avec contraintes d'égalité et d'inégalité.

    amphi 4:
    Lagrangien, point selle, théorème de Kuhn et Tucker, dualité, algorithme de gradient sans contrainte.

    amphi 5:
    Algorithmes de gradient avec contraintes (projeté, Uzawa, SQP).

    amphi 6:
    Programmation linéaire.

    amphi 7:
    Introduction au contrôle, contrôlabilité des systèmes linéaires, critère de Kalman.

    amphi 8:
    Contrôle optimal du système linéaire quadratique, état adjoint, équation de Ricatti.

    amphi 9:
    Contrôle de systèmes non-linéaires, principe du minimum de Pontryaguine.

    amphi 10:
    Preuve et applications du principe du minimum de Pontryaguine.

    Mots clés

    optimisation, contrôle, conditions d'optimalité, gradient, adjoint, algorithmes,
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