v2.6.0 (3588)

PA - C4B - MAT563 : Groupes compacts et groupes de Lie

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours constitue la suite du cours de David Renard « Groupes, anneaux, modules et représentations » (MAT556), mais en se plaçant dans une optique plus géométrique et analytique qu’algébrique. La connaissance du cours MAT556 paraît indispensable et celle de « Variétés différentielles, fibrés et formes » (MAT553) pourra être utile.

L’étude des groupes de matrices compacts permet à la fois d’illustrer la théorie générale des représentations mais également de la raffiner en obtenant une classification complète des représentations irréductibles. Cette théorie est centrale aussi bien en arithmétique qu’en physique.

Nous commencerons par étudier la théorie générale des représentations des groupes compacts. Une fois acquise l’existence de la mesure de Haar, cette théorie est complètement parallèle à celle des représentations des groupes finis telle qu'elle a été abordée dans le cours MAT556. En effet, la mesure permet de moyenner des fonctions sur le groupe, phénomène à l’origine de toutes les propriétés agréables des représentations des groupes compacts.

Toutefois, on peut dans certains cas aller beaucoup plus loin et obtenir une classification précise des représentations irréductibles. Nous donnerons l’exemple des deux groupes compacts non abéliens les plus simples, à savoir le groupe spécial unitaire SU2(ℂ) et le groupe spécial orthogonal SO3(ℝ), qui sont presque les mêmes. Nous présenterons des applications à la théorie des représentations des groupes non compacts SL2(ℝ) et SL2(ℂ).

Nous aborderons ensuite la théorie des groupes et des algèbres de Lie comme outil pour la théorie des représentations. Un groupe de Lie n’est autre qu’un groupe de matrices, et son algèbre de Lie est son plan tangent en l’origine. Les algèbres de Lie capturent donc des phénomènes au premier ordre. Permettant de linéariser la théorie des groupes, elles sont omniprésentes en mathématiques et en physique. Nous introduirons surtout du vocabulaire nécessaire pour la suite : caractères et systèmes de racines. Nous définirons enfin les groupes de Lie compacts, comme par exemple SOn(ℝ) et SUn(ℂ), et classifierons complètement leurs représentations irréductibles.

 

 

Bibliographie

[BD] T. Bröcker et T. tom Dieck, Representations of compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 98, Springer.

[D] J. F. Dat, Cours introductif de M2 « Groupes et algèbres de Lie », notes de cours disponibles sur https://webusers.imj-prg.fr/~jean-francois.dat/enseignement/GAL/GALM2.pdf

[Ki] A. Kirillov, An introduction to Lie groups and Lie algebras, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 113.

[Ko] E. Kowalski, An introduction to representation theory, Graduate Studies in Mathematics 155, American Mathematical Society.

[M] F. Murnaghan, Representations of locally compact group, Fall 2013, notes de cours disponibles sur http://www.math.toronto.edu/murnaghan/courses/mat1196/rnotes.pdf

[S] M. Sepanski, Compact Lie groups, Graduate Texts in Mathematics 235, Springer.

 

 
Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Le rattrapage est autorisé
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
      Veuillez patienter