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Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Programme détaillé

Nous commencerons la définition des variétés lisses et l'étude des applications entre variétés lisses. Ce ci nous amènera à la notion de structure lisse sur une variété. Des exemples de constructions de variétés lisses (variétés quotient, sommes connexes , sous-variétés de l'espace euclidien) nous donneront une meilleure appréciation de la complexité possible des variétés. Nous nous attarderons sur la construction des variétés de dimension 2.

Une fois ce cadre général posé, nous introduirons la notion de fibré sur une variété. Les fibrés sont omniprésents en géométrie mais également dans diverse théories physiques telles que les théories de jauge. Nous étudierons plus en détail le fibré tangent d'une variété et le fibré normal d'uns sous-variété. L'étude du fibré de Hopf (et de ses généralisations en dimension supérieure) nous permettra d'entrer dans le monde fascinante de la classification des fibrés.

Le Théorème de Sard exploite de manière cruciale la structure différentielle sur les variétés. C'est le point de départ de plusieurs développements dont les théorèmes de plongement de Witney qui, impliquent que les variétés (abstraites) ne sont pas vraiment plus générales que les notions plus simples à appréhender de sous-variété d’un espace euclidien. Le Théorème de Sard est également la base de la théorie de la transversalité et de la théorie de l'intersection qui nous amèneront à étudier la notion de degré d'une application définie entre variétés et la définition de caractéristique d'Euler d'une variété.

Tout ces outils nous donneront l'occasion d'aborder la Théorie de Morse qui permet de mieux comprendre la complexité d'une variété compacte en étudiant les points critiques des fonctions définies sur cette variété. Nous déduirons de cette théorie lee Théorème de Reeb qui permet de caractériser les sphères et le Théorème de décomposition des variétés compactes.

Les variétés lisses constituent également le cadre naturel d’une riche théorie de l’intégration. Cette théorie qui s'appuie sur la notion de forme différentielle, nous donnera un cadre unifié pour définir les opérateurs gradient, divergence et rotationnel que l'on trouve dans l'étude de la mécanique des fluides et de l'électromagnétisme ainsi. que les formules d’intégration par parties qui les accompagnent (Théorème de Stokes). On en profitera pour introduire quelques rudiments de cohomologie de de Rham, ce qui fera le lien avec le cours de topologie algébrique.

Pour compléter ce panorama, nous définirons la notion de connexion en tant qu'opérateur sur les sections d'un fibré vectoriel ce qui nous amènera à la notion de transport parallèle et la notion de courbure liée à une connexion. Nous approfondirons le cas particulier de la connexion de Levi-Civita, et étudierons le car des surfaces plongées dans l'espace euclidien de dimension 3 ce qui nous donnera une meilleure compréhension de la notion de connexion et de courbure.

Bibliographie :

Raoul Bott et Loring W. Tu. Differential forms in algebraic topology.
Morris W. Hirsh. Differential Topology.
John M. Lee. Introduction to smooth manifolds.
John Milnor. Topology from the differential viewpoint.

Mots clés

Géométrie différentielle, sous-variétés, variétés, fibré vectoriel,