v2.11.0 (5648)

Programme d'approfondissement - MAT552 : Théorie algébrique des nombres

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation, unique des éléments comme produits d’éléments premiers», dans les anneaux de la forme où est un «entier algébrique», (l’anneau des entiers de Gauss par exemple), ou mieux, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le « dernier théorème » de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, ou la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini «le groupe des classes d’idéaux» dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne.

Le cas des «entiers quadratiques», c’est à dire des anneaux de la forme de avec x de degré 2, est historiquement le plus important et sera étudié en détail. Nous verrons que leur arithmétique est reliée à la classification des formes quadratiques binaires entières (Lagrange, Legendre, Gauss) et à la question élémentaire de décider quels sont les entiers représentés par une forme donnée. Par exemples, nous savons depuis Fermat que tout nombre premier p congru à 1 modulo 4 est somme de deux carrés, ou encore que si p est congru à 1, 3, 7 ou 9 modulo 20 alors p est (exclusivement) soit de la forme , soit de la forme (Euler, Lagrange). Nous développerons au long du cours des outils efficaces pour étudier ce type de question, comme la réduction de Gauss, ou la notion de « genre » des formes quadratiques (Lagrange, Gauss), qui est un point de départ de la fameuse théorie du corps de classes.

 

Bibliographie
« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84

« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.

« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.



Langue du cours : Français

Objectifs pédagogiques

Acquisition de connaissances dans le domaine de la théorie algébrique des nombres

Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, formes quadratiques binaires arithmétique des anneaux, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, fonctions L, formules du nombre de classes et du nombre de genre.

4 heures en présentiel

4 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.

effectifs minimal / maximal:

/40

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Algèbre générale (anneau, idéaux etc), et éventuellement Théorie de Galois. Mais en vérité ce cours ne demande quasiment aucun prérequis hormis l'algèbre linéaire de base, et tout sera rappelé.

Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques Jacques Hadamard

Algèbre générale (anneau, idéaux etc), et éventuellement Théorie de Galois. Mais en vérité ce cours ne demande quasiment aucun prérequis hormis l'algèbre linéaire de base, et tout sera rappelé.

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Algèbre générale (anneau, idéaux etc), et éventuellement Théorie de Galois. Mais en vérité ce cours ne demande quasiment aucun prérequis hormis l'algèbre linéaire de base, et tout sera rappelé.

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Vos modalités d'acquisition :

L'examen est un examen écrit de 3h. (Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
• Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques Jacques Hadamard

    Vos modalités d'acquisition :

    L'examen est un examen écrit de 3h.
    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

      Vos modalités d'acquisition :

      L'examen est un examen écrit de 3h. (Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
      mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)
      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

        Pour les étudiants du diplôme M1 Mathématiques et Applications - Voie Jacques Hadamard - École Polytechnique

        Vos modalités d'acquisition :

        L'examen est un examen écrit de 3h. (Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
        mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)
        Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
        La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

        Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)

          Programme détaillé

          Formes quadratiques entières

          Anneaux d'entiers des corps quadratiques imaginaires

          Corps de nombres généraux

          Finitude du nombre de classe et groupe de classei

          Mots clés

          Théorie des nombres

          Méthodes pédagogiques

          Travail
          Veuillez patienter