v2.11.0 (5518)

Cours scientifiques - FMA_43052_EP : Analyse fonctionnelle

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles (équations elliptique, paraboliques ou hyperboliques), qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.

L’objectif du cours est de donner un panorama assez général de l’étude des espaces de Banach et des opérateurs entre espaces de Banach.

Le cours commence par des considérations géométriques : étude des convexes, Théorème de Helly, Théorème de séparation des convexes de Hahn-Banach, Théorème de Krein-Milman.

Puis, il se poursuit par l’étude des théorèmes qui forment le socle de l’analyse fonctionnelle : Lemme de Baire, Théorème de Banach-Steinhaus, Théorème de l’application ouverte et Théorème du graphe fermé.

Nous ouvrons ensuite un chapitre important sur l’étude des topologies faibles et des topologies faibles∗, ce qui nous amènera à l’énoncé du Théorème de Banach-Alaoglu (qui permet de “récupérer" un peu de compacité dans les espaces de dimension infinie). 

Après nous être un peu égarés dans l’étude des espaces de Banach, nous verrons dans quelle mesure les espaces “réflexifs” et les espaces “séparables” constituent une classe intéressante d’espaces de Banach, qui jouissent de propriétés agréables.

Le chapitre suivant est consacré à l’étude des algèbres de Banach qui unifient sous une même bannière plusieurs cas particuliers que vous avez peut-être déjà vus (par exemple, l'exponentielle d'une matrice ou d'un endomorphisme). Ce chapitre culmine avec la preuve en trois lignes (mais qui nécessite d’avoir compris les 10 pages précédentes !) d’un beau résultat concernant les séries de Fourier.

Le cours se poursuit avec l’étude du spectre des opérateurs avec en particulier l’alternative de Fredholm, le spectre des opérateurs compacts pour terminer avec l’étude des opérateurs de Fredholm, qui généralisent en dimension infinie, les résultats que vous connaissez bien sur les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie.

Enfin, le dernier chapitre du cours est consacré aux opérateurs non-bornés et à l'analyse des semi-groupes d'opérateurs qui sont le point de départ de l'étude de nombreuses équations d'évolution. Dans ce cadre, nous démontrerons le Théorème de Hille-Yosida (ou plutôt une de ses versions connue sous le nom de Théorème de Lumer-Phillips) qui donne des conditions suffisantes pour qu'un opérateur soit le générateur infinitésimal d'un semi-groupe d'opérateurs.

Langue du cours : Français

Polycopié : Anglais

Objectifs pédagogiques

Ce cours entend fournir les bases de l’analyse fonctionnelle aussi bien en amont des applications aux équations aux dérivées partielles (équations elliptique, paraboliques ou hyperboliques), qu’en amont des applications aux algèbres d’opérateurs.

35 heures en présentiel (10 blocs ou créneaux)

70 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Vous devez avoir validé l'équation suivante : UE FMA_41031_EP

Topologie des espaces vectoriels normés : compacité et complétude. Applications linéaires continues entre espaces de dimensions infinies.

Pour les étudiants du diplôme Non Diplomant

Topologie des espaces vectoriels normés : compacité et complétude. Applications linéaires continues entre espaces de dimensions infinies.

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Topologie des espaces vectoriels normés : compacité et complétude. Applications linéaires continues entre espaces de dimensions infinies.

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Vos modalités d'acquisition :

Devoirs hebdomadaires et examen final écrit de 3 heures. Le polycopié est autorisé lors de l'examen final. La note finale tient compte des notes aux deveoirs hebdomadaires et de la note à l'examen final.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Le coefficient de l'UE est : 10

    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    La note obtenue est classante.

    Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

    Vos modalités d'acquisition :

    Devoirs hebdomadaires et examen final (contrôle classant) écrit de 3 heures. Le polycopié est autorisé lors de l'examen final. La note finale tient compte des notes aux deveoirs hebdomadaires et de la note à l'examen final.

    Le rattrapage est autorisé
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Le coefficient de l'UE est : 10

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      La note obtenue est classante.

      Pour les étudiants du diplôme Non Diplomant

      Vos modalités d'acquisition :

      Devoirs hebdomadaires et examen final écrit de 3 heures. Le polycopié est autorisé lors de l'examen final. La note finale tient compte des notes aux deveoirs hebdomadaires et de la note à l'examen final.

      Programme détaillé

      1 Elements of Topology

      1.1 Topological Spaces 

      1.2 Sequences in Topological Spaces

      1.2 Compactness 

       

      2 Geometry of Normed Vector Spaces

      2.1 Convex Sets.

      2.2 Convex Hull

      2.3 Helly’s Theorem 

       

      3 The Hahn-Banach Theorem

      3.1 The Hahn-Banach Theorem (Analytic Form) 

      3.2 The Topological Dual of a Normed Vector Space 

       

      4 Topological Vector Spaces 

      4.1 Topological Vector Spaces

      4.2 Seminorms 

      4.3 Locally Convex Topological Vector Spaces

       

      5 Separation of Convex Sets 

      5.1 Hahn-Banach Theorem (Geometric Form) 

       

      6 Krein-Milman’s Theorem 

       

      7 Main Theorems in Functional Analysis 

      7.1 Ascoli'-Arzela's Theorem 

      7.2 Baire’s Lemma

      7.3 Banach-Steinhaus’ Theorem

      7.4 Open Mapping Theorem and Closed Graph Theorem

      7.5 Topological Complement

       

      8 Weak Topologies 

      8.1 The Weak Topology

      8.2 Weak Topology and Normed VectorSpaces

      8.3 Weak-∗ Topology

      8.4 Banach-Alaoglu’s Theorem 

       

      9 Reflexive and Separable Spaces 

      9.1 Reflexive Spaces 

      9.2 Separable Spaces 

      9.3 Weakly Convergent Sequences

      9.4 Consequences of Banach-Alaoglu’s Theorem 

       

      10 Banach Algebras 

      10.1 Banach Algebras 

      10.2 Calculus in Banach Algebras 

      10.3 The Spectrum.

      10.4 Riez Projectors.

      10.5 Ideals and Characters 

      10.6 Quotient Algebras 

       

      11 Gelfand’s Transform 

      11.1 The Algebra of Continuous Functions Over a Compact

      11.2 Wiener’s Algebra

      11.3 Gelfand Transform

       

      12 Spectral Theory 

      12.1 Adjoint

      12.2 Compact Operators 

      12.3 Fredholm’s Alternative

      12.4 TheSpectrum of Compact Operators

      12.5 The Spectrum of Compact Self-Adjoint Operators

       

      13 Fredholm Operators

       

      14 Hille-Yosida’s (or Lumer-Phillips) Theorem.

      14.1 Adjoint

      14.2 Unbounded Operators

      14.3 Dissipative Operators

      14.4 Strongly Continuous Semi-Groups of Operators

      14.5 Hille-Yosida’s (or Lumer-Phillips) Theorem

       

      15 Appendix: Holomorphic Functions in a Nut Shell

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