Descriptif
Les équations aux dérivées partielles sont souvent utilisées en biologie pour modéliser des systèmes structurés spatialement : propagation de forêt, dynamique d'une inflammation, polarisation d'une cellule... Ces modèles peuvent par exemple permettre de simuler de façon précise le comportement d'un organe. Dans d’autres cas, en particulier lorsque l'on s'intéresse à des systèmes biologiques moins bien compris, les équations aux dérivées partielles peuvent offrir une description qualitative de phénomènes complexes.
Dans ce cours, nous allons nous concentrer sur deux problématiques écologiques, via l’étude de travaux récents. Dans un premier temps nous nous intéresserons aux phénomènes de propagation qui sont décrits par des équations paraboliques non-linéaires. Nous verrons alors qu'une bonne compréhension d'équations linéaires (elliptiques ou paraboliques) permet d'étudier le comportement de modèles non-linéaires. Dans la deuxième partie du cours nous étudierons les dynamiques de mouvements collectifs décris par des équations cinétiques. Pour comprendre la dynamique de ce second type d'équations aux dérivées partielles nous identifierons une échelle de temps rapide (qui sera locale en espace) et une échelle lente (qui gouvernera la dynamique spatiale du système).
Nous pourrons ainsi décrire les solutions grâce à des modèles macroscopiques.
Les deux problématiques écologiques discutées dans ce cours nous permettront de comprendre la diversité des questions qui peuvent se poser autour de modèles d'équations aux dérivées partielles en biologie: modélisation, liens avec d'autres modèles (en particulier avec des modèles stochastiques), simulations numériques. Nous pourrons aussi discuter des rôles possibles de l'analyse mathématique dans l'étude d'une problématique biologique. Les méthodes mathématiques abordées (modèles linéaires/non-linéaires, dynamiques lentes/rapides) interviennent dans de nombreux problèmes mathématiques issus de la biologie.
De plus, ces méthodes ont des liens avec des arguments utilisés en probabilités et lors de l'étude de systèmes dynamiques.
Objectifs pédagogiques
Acquérir des compétences sur certaines méthodes mathématiques :
- Analyse d'équations aux dérivées partielles elliptiques, paraboliques et cinétiques
- Méthodes de propagation de front
- Méthodes de limite macroscopique
Etude de certaines problématiques écologiques et compréhension des connections entre ces problématiques et les développements mathématiques du cours
- Ecriture d'un modèle : choix de modélisation, compréhension des limites de ces choix
- Lecture et discussion d'articles de biologie
- Cours magistral : 18
Diplôme(s) concerné(s)
Pour les étudiants du diplôme M2 MM - Modélisation Mathématique
Un cours d'introduction sur les équations aux dérivées partielles
Pour les étudiants du diplôme M2 MSV - Mathématiques pour les Sciences du Vivant
Un cours d'introduction sur les équations aux dérivées partielles
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme M2 MSV - Mathématiques pour les Sciences du Vivant
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 4 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M2 MM - Modélisation Mathématique
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 6 ECTS
Programme détaillé
- Modèle de Fisher-KPP : principe de comparison, existence et unicité des solutions, estimations de régularité
- Equations elliptiques : spectre des opérateurs linéaires elliptiques
- Fronts de propagation : résultats de spreading, méthodes monotones
- Connection entre modèle de Fisher-KPP et arbres brownien branchants, schémas numeriques pour les équations de Fisher-KPP
- Modèle linéaire de run and tumble model : existence et unicité
- Modèle de chemotaxie : existence et unicité
- Limite macroscopique heuristique (grâce à une série de Hilbert) pour le modèle de run and tumble et de chemotaxie
- Limite macroscopique rigoureuse pour le modèle de run and tumble et de chemotaxie
