v2.11.0 (5648)

Programme d'approfondissement - FMA_51052_EP : Théorie algébrique des nombres

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation unique des éléments comme produits d’éléments premiers, dans les anneaux de la forme ℤ[x] où x est un «entier algébrique» (l’anneau des entiers de Gauss par exemple), ou mieux, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le « dernier théorème » de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, ou la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini, «le groupe des classes d’idéaux», dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne.

 

L'objectif de ce cours consistera à se familiariser avec ces objets, en étudiant leurs propriétés de manière générale et en les illustrant sur des exemples concrets. On introduira ainsi les anneaux d'entiers des corps de nombres, on étudiera leur structure et on démontrera la propriété de factorisation unique des idéaux. On se penchera tout particulièrement sur le cas des entiers quadratiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x de degré 2,  et sur le cas des entiers cyclotomiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x racine de l'unité.

 

Une fois ce cadre mis en place, on s'intéressera à ce que l'on appelle la « géométrie des nombres ». Développée par Minkoxski, elle permet d'étudier les réseaux dans un espace vectoriel réel de dimension finie. On utilisera ensuite cette théorie pour démontrer deux importants théorèmes de la théorie algébrique des nombres: la finitude des classes, et le théorème des unités de Dirichlet. De nombreuses applications (liées par exemple à la représentation d'entiers comme sommes de carrés ou à la résolution d'équations diophantiennes) illustreront le cours.

 

A partir de là, nous pourrons explorer d'autres voies plus poussées: en fonction du temps disponible, on pourra par exemple introduire les entiers p-adiques et se diriger vers le célèbre théorème de Hasse-Minkowski, ou bien on pourra développer des outils performants pour étudier les valeurs entières représentées par des formes quadratiques et se diriger vers la fameuse théorie du corps de classes.

 

Pour suivre ce cours, il est recommandé d'avoir suivi le cours de théorie de Galois en deuxième année.

 

Bibliographie

« Primes of the form x^2+ny^2 », D. A. Cox

« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84

« Algebraic Number Theory », J. Neukirch

« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.

« Cours d'arithmétique », J.-P. Serre

« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.

Langue du cours : français ou anglais selon la demande

Objectifs pédagogiques

Acquisition de connaissances dans le domaine de la théorie algébrique des nombres

Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, entiers p-adiques, fonctions L, théorème de Dirichlet, théorème de Hasse-Minkowski

36 heures en présentiel

4 heures de travail personnel estimé pour l’étudiant.

Diplôme(s) concerné(s)

Parcours de rattachement

Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

Algèbre générale (anneaux, idéaux etc), et Théorie de Galois

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Algèbre générale (anneaux, idéaux etc), et Théorie de Galois

Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

Algèbre générale (anneaux, idéaux etc), et Théorie de Galois

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Vos modalités d'acquisition :

L'examen est un examen écrit de 3h. Notes de cours, polycopié et notes de PC autorisés. Calculatrices, ordinateurs, matériel électronique interdits.

(Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)


Le rattrapage est autorisé
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
• Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

    Vos modalités d'acquisition :

    L'examen est un examen écrit de 3h. Notes de cours, polycopié et notes de PC autorisés. Calculatrices, ordinateurs, matériel électronique interdits.

    (Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
    mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)


    Le rattrapage est autorisé
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
    La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si Note finale >= 10
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique

      Vos modalités d'acquisition :

      L'examen est un examen écrit de 3h. Notes de cours, polycopié et notes de PC autorisés. Calculatrices, ordinateurs, matériel électronique interdits.

      (Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
      mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)


      Le rattrapage est autorisé
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

        La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

        Programme détaillé

        1) Anneaux et arithmétique

        2) Corps de nombres et anneaux d'entiers

        3) Entiers p-adiques et corps p-adiques

        4) Fonction zêta de Riemann, fonctions L et théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques

        5) Formes quadratiques sur Q

        Mots clés

        Théorie des nombres

        Méthodes pédagogiques

        Travail
        Veuillez patienter