Descriptif
Les surfaces de Riemann sont les espaces sur lesquels on peut définir la notion de fonction holomorphe. Ces objets sont au carrefour de nombreux domaines des mathématiques: la géométrie différentielle (métrique hyperbolique), la théorie des nombres (formes modulaires), les systèmes dynamiques (espaces de Teichmüller), ou la géométrie algébrique (courbes projectives).
Le but de ce cours est de proposer une introduction à divers aspects géométriques des surfaces de Riemann. Nous introduirons aussi les deux notions clef de topologie algebrique que sont les revêtements et le groupe fondamental, et discuterons des applications de cette théorie à l'étude des surfaces de Riemann compactes.
Bibliographie
Allen Hatcher: Algebraic topology.
Eric Reyssat: Quelques aspects des surfaces de Riemann.
Un polycopié sera de plus distribué au début du cours.
Niveau requis
La connaissance de la notion de variété sera utile mais pas nécessaire. Tous les outils adéquats seront développés durant le cours.
Langue du cours : Français ou anglais selon la demande
Diplôme(s) concerné(s)
- M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
- Programmes d'échange internationaux
- Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Avoir suivi MAT553 fortement conseillé
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Programme détaillé
Plan du cours
- Rappels sur les fonctions holomorphes;
- Surfaces de Riemann: définition et exemples;
- Théorie des revêtements et correspondance de Galois;
- Groupe fondamental;
- Théorème de Van Kampen;
- Topologie des surfaces de Riemann compactes;
- Surfaces à petits carreaux.
