Descriptif

Les variétés différentielles sont des objets géométriques localement décrits par des systèmes de coordonnées (réelles ou complexes), mais possédant une structure globale qui peut être particulièrement compliquée. Ces objets apparaissent de manière naturelle en mathématiques et constituent également le cadre sur lequel sont construites de nombreuses théories physiques (théorie de la relativité générale, théories de jauge, etc…).

Ce cours se décompose en deux parties.

La première partie est une introduction aux variétés différentielles et à quelques-uns des concepts-clés qui leur sont associés (cartes, atlas). Nous commencerons par la définition des variétés abstraites possédant une structure différentielle et nous donnerons des exemples de telles variétés  et quelques recettes de construction de variétés différentielle (variétés quotient, sommes connexes, sous-variétés, etc). Nous nous attarderons en particulier sur la construction des variétés de dimension 2 ce qui nous donnera une première idée de la complexité des variétés. Une fois ce cadre général posé, nous introduirons la notion d'application lisse entre variétés, la notion de plongement et de submersion.

Nous étudierons les conséquences du Théorème de Sard qui est le point de départ de plusieurs développements dont les théorèmes de plongement de Witney qui stipulent que les variétés (abstraites) ne sont pas vraiment plus générales que les notions plus simples à appréhender de sous-variété d’un espace euclidien. Le Théorème de Sard sert également de base à la théorie de la transversalité et de la théorie de l'intersection qui nous conduiront à la notion de degré d'une application définie entre variétés et la définition de la caractéristique d'Euler d'une variété.

Tous ces outils nous donneront l'occasion d'aborder la Théorie de Morse qui permet de mieux comprendre la complexité topologique d'une variété compacte en étudiant les points critiques des fonctions. Nous en déduirons le Théorème de Reeb qui permet de caractériser les sphères.

Nous définirons et étudierons ensuite les fibrés et les sections des fibrés qui sont omniprésents en géométrie mais également dans diverse théories physiques. Nous étudierons plus en détail les fibrés vectoriels dont le fibré tangent, le fibré cotangent et le fibré normal. L'étude de la fibration de Hopf (et de ses généralisations en dimension supérieure) nous permettra de mieux comprendre les difficultés liées à la classification des fibrés.

Les variétés différentielle constituent le cadre naturel d’une riche théorie de l’intégration. Cette théorie qui s'appuie sur les notions de forme différentielle et de différentielle extérieure, nous donnera un cadre unifié pour définir les opérateurs gradient, divergence et rotationnel ainsi que les formules d’intégration par parties qui les accompagnent (Théorème de Stokes). On en profitera pour introduire quelques rudiments de cohomologie de de Rham, ce qui fera le lien avec le cours de topologie algébrique.

La deuxième partie du cours s'appuie sur les concepts développés dans la première partie du cours. On commencera par définir la notion de métrique (riemannienne ou pseudo-riemannienne) sur une variété différentielle. Nous poursuivrons par la notion de connexion de Levi-Civita en tant qu'opérateur agissant sur les sections du fibré tangent, ce qui nous amènera à la notion de transport parallèle et la notion de courbure (tenseur de courbure de Riemann). Nous définirons et étudierons les géodésiques d'une variété Riemannienne (ou pseudo-riemannienne) ce qui nous permettra de définir les coordonnées normales géométriques sur une variété.

Dans le cadre des variétés riemanniennes, nous définirons les différentes notions de courbure : tenseur de courbure de Riemann, courbure sectionnelle, tenseur de courbure de Ricci et courbure scalaire. Nous étudierons en particulier le cas des surfaces plongées dans l'espace euclidien de dimension 3 ce qui nous permettra d'avoir une meilleure compréhension de la notion de connexion et de la notion de courbure. Enfin, nous énoncerons et démontrerons quelques résultats sur les liens entre la courbure (notamment son signe), la topologie et la géométrie des variétés riemanniennes, comme par exemple le Théorème de (Chern-)Gauss-Bonnet et le Théorème de Myers.

Bibliographie :

- Manfredo P. do Carmo : Riemannian Geometry, Birkhäuser.
- Victor Guillemin et Alan Pollack : Differential Topology. Prentice-Hall.
- Morris W. Hirsh : Differential Topology, Springer
- Peter Petersen : Riemannian Geometry, Springer.

Langue du cours : polycopié en anglais, cours en français ou anglais, selon la demande.

Crédits ECTS : 5