Descriptif

Dans de nombreuses applications, on souhaite suivre une évolution aléatoire au cours du temps, que l’on appelle un processus stochastique : position d’une particule élémentaire, état d’un système en physique statistique, propagation d’une épidémie, évolution démographique d’une population, portefeuille d’actifs financiers, etc. Lorsque que le temps est discret, ces valeurs successives forment une suite de variables aléatoires souvent non identiquement distribuées, mais surtout corrélées entre elles, et donc hors du cadre des variables i.i.d. étudié en première année.
L’objectif de ce cours est de développer les outils pour étudier de telles suites, et comprendre notamment leur comportement asymptotique. Un concept central est celui d’espérance conditionnelle sachant une tribu, qui généralise les différents cas étudiés en première année. L’espérance conditionnelle est en effet un outil indispensable pour la théorie des martingales et des chaînes de Markov développée dans ce cours, mais également le calcul stochastique, l’inférence bayésienne et de nombreux sujets en probabilités, mathématiques financières et statistique.
Les martingales forment un formidable outil pour étudier les processus stochastiques, elles permettent d’obtenir des identités clés et de démontrer des convergences en temps long. Les chaînes de Markov forment une classe de processus stochastiques très utilisée pour modéliser de nombreux phénomènes, et leur structure de corrélation simple permet une étude détaillée.