Descriptif

La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation unique des éléments comme produits d’éléments premiers, dans les anneaux de la forme ℤ[x] où x est un «entier algébrique» (l’anneau des entiers de Gauss par exemple), ou mieux, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le « dernier théorème » de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, ou la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini, «le groupe des classes d’idéaux», dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne.

L'objectif de ce cours consistera à se familiariser avec ces objets, en étudiant leurs propriétés de manière générale et en les illustrant sur des exemples concrets. On introduira ainsi les anneaux d'entiers des corps de nombres, on étudiera leur structure et on démontrera la propriété de factorisation unique des idéaux. On se penchera tout particulièrement sur le cas des entiers quadratiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x de degré 2,  et sur le cas des entiers cyclotomiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x racine de l'unité.

Une fois ce cadre mis en place, on s'intéressera à ce que l'on appelle la « géométrie des nombres ». Développée par Minkoxski, elle permet d'étudier les réseaux dans un espace vectoriel réel de dimension finie. On utilisera ensuite cette théorie pour démontrer deux importants théorèmes de la théorie algébrique des nombres: la finitude des classes, et le théorème des unités de Dirichlet. De nombreuses applications (liées par exemple à la représentation d'entiers comme sommes de carrés ou à la résolution d'équations diophantiennes) illustreront le cours.

A partir de là, nous pourrons explorer d'autres voies plus poussées: en fonction du temps disponible, on pourra par exemple introduire les entiers p-adiques et se diriger vers le célèbre théorème de Hasse-Minkowski, ou bien on pourra développer des outils performants pour étudier les valeurs entières représentées par des formes quadratiques et se diriger vers la fameuse théorie du corps de classes.

Pour suivre ce cours, il est recommandé d'avoir suivi le cours de théorie de Galois en deuxième année.

Bibliographie

« Primes of the form x^2+ny^2 », D. A. Cox

« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84

« Algebraic Number Theory », J. Neukirch

« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.

« Cours d'arithmétique », J.-P. Serre

« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.

Langue du cours : français ou anglais selon la demande