Descriptif

Ce cours pose les fondements de l’analyse fonctionnelle, à la fois en amont des applications aux équations aux dérivées partielles (elliptiques, paraboliques ou hyperboliques), et en amont des algèbres d’opérateurs.

L’objectif est d’offrir un panorama général de l’étude des espaces de Banach et des opérateurs définis entre ces espaces.

Le cours débute par des considérations d’ordre géométrique : étude des ensembles convexes, théorème de Helly, théorème de séparation des convexes (Hahn–Banach), et théorème de Krein–Milman.

Il se poursuit par les grands résultats fondateurs de l’analyse fonctionnelle : le Lemme de Baire, les théorèmes de Banach–Steinhaus, de l’application ouverte, et du graphe fermé.

Nous ouvrons ensuite un chapitre essentiel consacré aux topologies faibles et faibles*, qui nous mènera notamment au théorème de Banach–Alaoglu — un résultat fondamental qui permet de retrouver une forme de compacité dans les espaces de dimension infinie.

Après cette immersion dans la jungle des espaces de Banach de dimension infinie, nous nous intéresserons à deux classes d'espaces de Banach particulièrement intéressantes : les espaces réflexifs (et les espaces séparables) qui présentent des propriétés structurelles remarquables (et rassurantes).

Le chapitre suivant est dédié aux algèbres de Banach, qui unifient divers exemples classiques (tels que l’exponentielle d’une matrice ou d’un endomorphisme) dans un cadre abstrait commun. Ce chapitre culmine avec une élégante démonstration — en trois lignes, mais reposant sur dix pages de préparation ! — d’un beau résultat dû à Wiener concernant les séries de Fourier.

Nous étudierons ensuite la notion de spectre d’un opérateur, en abordant l’alternative de Fredholm, les propriétés spectrales des opérateurs compacts, avant de conclure sur les opérateurs de Fredholm, qui généralisent les résultats classiques de l’algèbre linéaire au cadre des espaces de dimension infinie. Nous définirons en particulier l'indice de Fredholm qui généralise, en dimension quelconque, la formule bien connue de dim Ker u + dim Im u = dim E pour toute application linéaire u: E --> F entre espaces de dimension finie.

Enfin, le dernier chapitre est consacré une introduction aux opérateurs non bornés et à l’analyse des semi-groupes d’opérateurs, qui constituent le point de départ naturel pour l’étude de nombreuses équations aux dérivées partielles d’évolution. Dans ce cadre, nous démontrerons le théorème de Hille–Yosida (ou plutôt une de ses formulations connues sous le nom de théorème de Lumer–Phillips), lequel fournit des conditions suffisantes pour qu’un opérateur soit le générateur infinitésimal d’un semi-groupe.

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