Descriptif
Dans une première partie du cours, on cherche à se familiariser avec ces objets, en étudiant leurs propriétés de manière générale et en les illustrant sur des exemples concrets. On introduit ainsi les anneaux d'entiers des corps de nombres, on étudie leur structure et on démontre la propriété de factorisation unique des idéaux. On se penche tout particulièrement sur le cas des entiers quadratiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x de degré 2, et sur le cas des entiers cyclotomiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x racine de l'unité. Une fois ce cadre mis en place, on s'intéresse à ce que l'on appelle la « géométrie des nombres ». Développée par Minkowski, elle permet d'étudier les réseaux dans un espace vectoriel réel de dimension finie. On utilise ensuite cette théorie pour démontrer un théorème important de la théorie algébrique des nombres: la finitude des classes. De nombreuses applications (liées par exemple à la représentation d'entiers comme sommes de carrés ou à la résolution d'équations diophantiennes) illustrent le cours.
Dans une deuxième partie du cours, on se penche sur des objets qui encodent les informations locales en arithmétique, à savoir les corps p-adiques. On les définit, on étudie leurs propriétés algébriques et analytiques de base, puis on démontre deux résultats fondamentaux: le lemme de Hensel et le théorème d’approximation faible.
Finalement, dans une troisième partie du cours, on développe quelques outils de théorie analytique des nombres. On étudie notamment la fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet. Cela nous permet de démontrer le théorème de la progression arithmétique.
On conclut le cours en prouvant le théorème de Hasse-Minkowski, qui constitue une très belle application de tous les outils précédemment développés dans le cours.
Pour suivre ce cours, il est recommandé d'avoir suivi le cours de théorie de Galois en deuxième année.
Bibliographie
« A Classical Introduction to Modern Number Theory », K. Ireland and M. Rosen, Springer GTM 84
« Algebraic Number Theory », J. Neukirch
« Théorie algébrique des nombres », P. Samuel, Hermann.
« Cours d'arithmétique », J.-P. Serre
« Disquisitiones arithmeticae», C. F. Gauss.
Langue du cours : français ou anglais selon la demande
Objectifs pédagogiques
Acquisition de connaissances dans le domaine de la théorie algébrique des nombres
Quelques notions abordées : loi de réciprocité quadratique, géométrie des nombres de Minkowski, corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d’idéaux, entiers p-adiques, fonctions L, théorème de Dirichlet, théorème de Hasse-Minkowski
Diplôme(s) concerné(s)
- Programmes d'échange internationaux
- Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
- M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Algèbre générale (anneaux, idéaux etc), et Théorie de Galois
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Algèbre générale (anneaux, idéaux etc), et Théorie de Galois
Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
Algèbre générale (anneaux, idéaux etc), et Théorie de Galois
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
Vos modalités d'acquisition :
L'examen est un examen écrit de 3h. Notes de cours, polycopié et notes de PC autorisés. Calculatrices, ordinateurs, matériel électronique interdits.
(Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)
Le rattrapage est autorisé
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
• Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vos modalités d'acquisition :
L'examen est un examen écrit de 3h. Notes de cours, polycopié et notes de PC autorisés. Calculatrices, ordinateurs, matériel électronique interdits.
(Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)
Le rattrapage est autorisé
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
• Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
L'examen est un examen écrit de 3h. Notes de cours, polycopié et notes de PC autorisés. Calculatrices, ordinateurs, matériel électronique interdits.
(Pour les EA L'examen prend la forme d'un rendu de
mémoire (~10 p) et d'une soutenance orale (exposé suivi de questions).)
Le rattrapage est autorisé
L'UE est acquise si note finale transposée >= C
• Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Programme détaillé
1) Anneaux et arithmétique
2) Corps de nombres et anneaux d'entiers
3) Entiers p-adiques et corps p-adiques
4) Fonction zêta de Riemann, fonctions L et théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques
5) Formes quadratiques sur Q