Descriptif

Les variétés différentielles sont des objets géométriques localement décrits par des systèmes de coordonnées (réelles ou complexes), mais dotés de structures globales pouvant être extrêmement riches, voire complexes. Ces objets apparaissent naturellement en mathématiques et constituent également le cadre de nombreuses théories physiques comme la relativité générale ou les théories de jauge.

Le cours débute par une introduction aux variétés différentielles et aux concepts fondamentaux qui leur sont associés : cartes, atlas, structures différentielles. Nous donnerons la définition rigoureuse d’une variété (abstraite), illustrée par de nombreux exemples, et nous présenterons quelques méthodes de construction de variétés : variétés quotient, sous-variétés, sommes connexes, etc. L'accent sera mis sur les surfaces (i.e. les variétés de dimension 2), qui offrent un premier aperçu de la grande diversité des phénomènes topologiques et géométriques.

Nous introduirons ensuite les notions d’applications lisses entre variétés, de plongement et de submersion. Cela nous conduira naturellement au théorème de Sard, point de départ de plusieurs développements importants en mathématiques: ce théorème joue un rôle central dans les théories de la transversalité et de l’intersection, et nous verrons qu'il permet de définir le degré d’une application entre variétés ainsi que la caractéristique d’Euler d'une variété.

Nous présenterons ensuite la notion de fibré sur une variété qui est omniprésente en géométrie et dans de nombreuses théories physiques. L’étude des fibrés vectoriels – comme par exemple le fibré tangent, le fibré cotangent et le fibré normal – constituera une partie importante du cours. L’exemple classique de la fibration de Hopf sera l'occasion de mieux comprendre les difficultés inhérentes à la classification des fibrés.

Les variétés différentielles offrent un cadre naturel pour une théorie de l’intégration unifiée, reposant sur les formes différentielles et les notions de différentielle extérieure et de produit extérieur. Ce formalisme permet de retrouver, dans un langage géométrique, les opérateurs classiques du calcul vectoriel (gradient, divergence, rotationnel) ainsi que leurs formules intégrales, culminant dans le théorème de Stokes, unifiant plusieurs résultats fondamentaux.

Une fois ce cadre posé, nous introduirons la notion de métrique (riemannienne ou lorentzienne) et la notion de connexion sur un fibré vectoriel. Nous étudierons en particulier la connexion de Levi-Civita, qui permet de "dériver" les sections du fibré tangent. Nous étudierons le transport parallèle, puis les géodésiques, qui permettent de définir les coordonnées normales autour d’un point.

La connexion de Levi-Civita nous amènera naturellement à la notion de courbure d’une variété : tenseur de Riemann, courbure sectionnelle, tenseur de Ricci, courbure scalaire. Pour mieux appréhender ces objets, nous examinerons en détail le cas des surfaces plongées dans l’espace euclidien de dimension 3.

Enfin, nous établirons quqlues résultats reliant la courbure, la topologie et la géométrie des variétés, tels que le théorème de Gauss-Bonnet ou le théorème de Myers.

Bibliographie :

- Manfredo P. do Carmo : Riemannian Geometry, Birkhäuser.
- Victor Guillemin et Alan Pollack : Differential Topology. Prentice-Hall.
- Morris W. Hirsh : Differential Topology, Springer.
- Peter Petersen : Riemannian Geometry, Springer.

Langue du cours : polycopié en anglais, cours en français ou anglais, selon la demande.

Crédits ECTS : 5