Descriptif

Ce cours introduit les notions - fondamentales en mathématiques - de modules sur un anneau, de groupes et d’actions de groupe.
 
Pour comprendre un groupe G, on cherche à le faire opérer de façon naturelle sur certains objets, notamment par automorphismes linéaires sur les espaces vectoriels de dimension finie. On parle alors de représentations linéaires de G ou de k[G]-modules. Le concept de dualité de Tannaka, qui dit qu’on peut reconstruire un groupe à partir de la catégorie de ses représentations linéaires, illustre l’importance de ces actions.
 
Nous introduirons d'abord la notion générale de module sur un anneau A (non nécessairement commutatif) et développerons sous certaines hypothèses de finitude, quelques  méthodes de classification (suites de composition, étude des extensions etc.). Nous considérerons ensuite deux cas où l'on sait classifier les modules sur A: celui où A est principal et celui où A est semisimple. Lorsque A est principal, nous en déduirons, par exemple, la classification des groupes abéliens de type fini (A = Z) ou des classes de conjugaison de GLn(k) (A = k[X]). Lorsque A est semisimple, nous en déduirons la classification des représentations linéaires de G dont nous étudierons de nombreux exemples et applications, notamment le théorème p^aq^b de Burnside ('baby case' du théorème de Feit-Thompson). Afin de disposer de suffisamment de matière, nous procéderons d'abord à une étude élémentaire de la structure des groupes finis. Nous commencerons par la structure 'locale' ou théorie de Sylow, qui décrit les p-sous-groupes de G (p premier) et permet parfois de ramener des problèmes sur G à des problèmes sur les p-groupes. Nous passerons ensuite à la structure 'normale' via la notion d'extension et de suite de composition. Le théorème de Jordan-Holder dit qu'un groupe fini G est extensions successives de groupes finis simples (essentiellement uniques). Lorsque ces groupes finis simples sont tous cycliques, cela conduit aux notions de groupes résolubles et nilpotents (dont les p-groupes sont des exemples importants). Plus généralement, cela conduit au problème de comprendre les extensions possibles d'un groupe Q par un groupe K. Un cas favorable est celui des extensions scindées (ou produits semi-directs). Le théorème de Schur-Zassenhauss dit que si K et Q sont d'ordre premier entre eux alors toute extension de Q par K est scindée mais, en général, les extensions ne sont pas scindées et on les comprend encore mal. Nous verrons cependant que lorsque K est abélien et muni d'une action de Q, les extensions de Q par K sont classifiées par un groupe abélien noté H2(Q;K) et appelé le second groupe de cohomologie de Q à valeurs dans K.
 

Plan du cours
 
1- Modules sur un anneau.
1-1 Définitions, exemples
1-2 Opération sur les modules
1-3 Atomisation et reconstruction
1-4 Modules sur un anneau principal. Théorème de structure et applications (classification des groupes abéliens de type fini, classes de conjugaison de GLn(k) etc.)
2- Compléments sur la structure des groupes finis
2-1 Groupe symétrique
2-2 p-groupes, théorème de Sylow
2-3 Extensions. Suites de composition et théorème de Jordan-Holder, groupes nilpotents, groupes résolubles
2-4 Produits semi-directs, classification des extensions abéliennes par le H2, théorème de Schur-Zassenhaus
3- Représentations linéaires des groupes finis
3-1 Anneaux semisimples
3-2 Applications aux représentations linéaires des groupes finis (nombre et dimension des représentations irréductibles, table des caractères etc.); exemples et applications (théorème p^aq^b de Burnisde)
3-3 Restriction et induction. Exemples : Produits semidirects de noyau abélien, GL2(Fq), Sn etc.
 
Niveau requis : Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).
 
Bibliographique : Notes de cours et bibliographie disponibles sur :
http://www.math.polytechnique.fr/~cadoret/Enseignement.html
 
 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5