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PA - C5'' - MAT568 : Relativité générale - Mathématiques

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

La Relativité générale est une des grandes théories physiques développées au cours du XXe siècle à l’instigation d’Albert Einstein. Elle propose une révision radicale de la conception newtonienne de la gravitation en assimilant les effets de cette interaction à des conséquences de la présence de courbure dans l’espace-temps, dont la géométrie est modifiée par les masses. C’est à ce titre qu’elle est exemplaire de l’apport de théories mathématiques élaborées aux problématiques de la physique théorique.

Cette théorie fondamentalement non-linéaire permet une présentation assez complète des outils de la géométrie différentielle moderne avec de spectaculaires et substantielles applications. Comme, sans nuire à la compréhension, il est possible de développer parallèlement les géométries riemannienne et lorentzienne (avec sa signature (-+++) modélisant les cônes de lumière, c’est elle qui sert de cadre à la théorie d’Einstein), ce cours peut attirer des élèves intéressés tant par les mathématiques que par la physique.

Cet enseignement a été conçu comme un enseignement intégré de mathématiques et de physique, ce qui signifie que les élèves sont encouragés à suivre en même temps le cours portant le même nom en physique, soit PHY568.

Voici un plan indicatif du cours :

Cours 1. Variétés différentielles, espace tangent.
Cours 2. Fibré tangent, fibré cotangent, tenseurs.
Cours 3. Dérivée de Lie, dérivée covariante.
Cours 4. Métrique, transport parallèle, géodésiques.
Cours 5. Tenseur de courbure, isométries, métriques conformes.
Cours 6. Symétries de l’espace-temps de Minkowski, formalisme lagrangien de l’électromagnétisme.
Cours 7. Dérivation des équations d’Einstein à partir de l’action d’Einstein-Hilbert.
Cours 8. La géométrie des solutions de Schwarzschild et de Kerr.
Cours 9. Formulation du problème de Cauchy pour les équations d’Einstein.

Bibliographie
-S. Gallot, D. Hulin, J. Lafontaine, Riemannian Geometry, Springer-Verlag Universitext, 2004 (3e édition).
-S.W. Hawking et G.F.R. Ellis, The Large Scale Structure of Space-Time, Cambridge University Press, 1973.
-P. Petersen, Riemannian geometry, Graduate Texts in Mathematics, 171, Springer, 1998.
-R. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, 1984.

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Pour les étudiants du diplôme M1 High Energy Physics

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