Descriptif
Description du catalogue
Ce cours fournit une introduction complète à la théorie et aux applications de l'optimisation. Il s'appuie sur les concepts fondamentaux de l'algèbre linéaire, du calcul et de l'analyse numérique. Les étudiants apprendront les concepts de base, les outils et les méthodes utilisés dans l'optimisation ainsi que leur utilisation dans des applications réelles.
Objectif
Ce cours vise à familiariser les étudiants avec les principaux concepts, outils et méthodes de l'optimisation mathématique. Cette compréhension permettra aux étudiants d'acquérir une partie du bagage mathématique nécessaire pour suivre les autres cours de ce programme de master et d'aborder différentes applications réelles qui peuvent être écrites comme des problèmes d'optimisation.
Objectifs pédagogiques
-fournir aux étudiants les connaissances de base en optimisation linéaire, différentiable et convexe ;
-familiariser les étudiants avec les méthodes d'optimisation standard ;
-donner aux étudiants les outils et techniques nécessaires pour modéliser des applications sous forme de problèmes d'optimisation ;
-préparer les étudiants à des cours avancés tels que l'apprentissage automatique ou les mathématiques financières.
Diplôme(s) concerné(s)
Objectifs de développement durable
ODD 12 Consommation et production responsables.Pour les étudiants du diplôme M1 APPMS - Mathématiques Appliquées et Statistiques
connaissance de base de l'algèbre linéaire et de l'analyse fonctionnelle
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme M1 APPMS - Mathématiques Appliquées et Statistiques
Vos modalités d'acquisition :
examen écrit final de 2 heures (50% de la note finale), examen intermédiaire d'une heure (dans la semaine suivant les petites vacances d'automne) (25% de la note finale) et projet informatique à domicile (25% de la note finale).
-le projet informatique sera annoncé en novembre 2024 et devra être remis avant l'examen final
l'examen de mi-parcours et l'examen final consisteront uniquement en des problèmes à résoudre (similaires à ceux discutés pendant les sessions d'exercices)
Si un étudiant obtient à l'examen de mi-parcours plus de points qu'un tiers des points obtenus à l'examen final, sa note finale sera la suivante : (projet + mi-parcours + (2/3)) : (projet + partiel + (2/3)* examen final) / 20 ; sinon, elle sera : (projet + examen final) / 20
-un réexamen sera organisé au printemps 2025, écrit pour plus de 4 étudiants, sinon oral (40-45 minutes comprenant à la fois des questions théoriques et des problèmes à résoudre).
- Crédits ECTS acquis : 6 ECTS
Programme détaillé
Évaluation
Examen de mi-semestre (0 % ou 25 %), examen final (50 % ou 75 %) et projet de mi-semestre (25 %).
Plus précisément, les étudiants peuvent obtenir jusqu'à 5 points pour un projet de programmation à faire à la maison et jusqu'à 15 points à l'examen écrit final. Il y a également un examen de mi-semestre, où ils peuvent obtenir jusqu'à 5 points, qui peuvent remplacer 1/3 de leur note à l'examen final (par exemple, si quelqu'un obtient 3/5 pour le projet, 4/5 à l'examen de mi-semestre et 9/15 à l'examen final, sa note finale sera de 3 + 4 + (2/3)*9 = 13/20
Méthodes d'enseignement et d'apprentissage
Le cours sera dispensé sous forme de cours magistraux, de sessions de résolution de problèmes et de travaux pratiques.
Résultats d'apprentissage du cours (CLO)
Maîtriser une série de concepts, de théories et de méthodes permettant de traiter différentes catégories de problèmes d'optimisation.
Démontrer une compréhension approfondie des méthodes mathématiques permettant d'aborder les problèmes d'optimisation.
Exprimer des compétences avancées en résolution de problèmes en appliquant de manière indépendante des principes mathématiques pour résoudre des applications réelles modélisées sous forme de problèmes d'optimisation.
Développer des capacités avancées en matière de pensée abstraite, d'imagination spatiale, de raisonnement logique et de jugement.
Calendrier des laboratoires et autres sessions hors cours magistraux
Une session de travaux dirigés aura lieu chaque semaine, au cours de laquelle le professeur apportera aux étudiants le soutien nécessaire pour leur permettre de réaliser les travaux pratiques. En fonction des ressources disponibles, certaines sessions de travaux dirigés pourront se dérouler sur ordinateur afin de permettre aux étudiants de mettre en œuvre les algorithmes abordés.
Aperçu du plan d'enseignement
Le cours est dispensé sous la forme d'un cours magistral hebdomadaire de 2 heures. Le professeur présentera un sujet en détail, engagera les étudiants dans des discussions interactives et fera des démonstrations (le cas échéant) pour renforcer le contenu du cours. Le professeur fournira également (le cas échéant) des documents et des références à des lectures, si nécessaire. Chaque cours sera accompagné d'une session de travaux dirigés de 2 heures, au cours de laquelle les acquis théoriques seront illustrés par des exercices et des applications.
Plan d'enseignement
Semaine 1. Introduction : classes de problèmes d'optimisation, exemples, notions de solution.
Semaine 2. Structures linéaires : systèmes d'égalités linéaires, méthodes pour les résoudre.
Semaine 3. Convexité : ensembles et fonctions convexes, propriétés, caractérisations.
Semaine 4. Alternatives : lemme de Farkas, théorèmes de l'alternative.
Semaine 5. Problèmes d'optimisation différentiables sans contrainte : conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes, règle de Fermat.
Semaine 6. Problèmes d'optimisation différentiables avec contraintes : conditions d'optimalité nécessaires et suffisantes, système de Karush-Kuhn-Tucker.
Semaine 7. Problèmes d'optimisation différentiables sans contraintes : algorithmes de descente.
Semaine 8. Problèmes d'optimisation différentiables sans contraintes : algorithme de Newton, méthodes quasi-Newton.
Semaine 9. Problèmes d'optimisation différentiables avec contraintes : algorithmes.
Semaine 10. Problèmes d'optimisation différentiable avec contraintes : programmation quadratique séquentielle
Semaine 11. Conjugaison et sous-différenciabilité : propriétés, caractérisations, théorème de Fenchel-Moreau
Semaine 12. Problèmes d'optimisation convexe : propriétés, approches
Semaine 13. Problèmes d'optimisation convexe : dualité, conditions d'optimalité
Semaine 14. Problèmes d'optimisation convexe : algorithmes, méthodes de sous-gradient
