Descriptif

Le calcul para-différentiel, introduit par Bony, est un outil central pour l'étude et le traitement des équations aux dérivées partielles non linéaires. Il permet de décomposer les produits et les opérateurs grâce aux paraproduits de Coifman et Meyer, offrant ainsi une approche fine des problèmes de régularité et de propagation des singularités.
A l'interface de l'analyse harmonique et de l'analyse microlocale, il relie la décomposition de Littlewood-Paley et les espaces de Sobolev, Zygmund ou Besov aux cadres symboliques développés par Kahn-Nirenberg et Hi:irmander. Il fournit une méthodologie robuste pour linéariser les opérateurs non linéaires, comparer avec le calcul pseudo­différentiel et construire des opérateurs adaptés comme ceux de para-composition introduits par Alinhac.
Dans ce cours, nous présenterons les fondements de ce calcul et ses applications, en mettant l'accent sur son rôle unificateur entre l'analyse harmonique, la théorie des EDP non linéaires et la théorie des systèmes dynamiques. Nous aborderons ainsi un large éventail d'applications : inégalités bilinéaires de type Coifman-Meyer, étude des commu­tateurs et régularité elliptique, problèmes de frontière libre (notamment via l'opérateur de Dirichlet-Neumann), ainsi que l'analyse des équations d'Euler et de Schri:idinger. Nous verrons également comment, dans la théorie KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser), la réduction para-différentielle permet de surmonter les problèmes de petits diviseurs.
Présenter les fondements du calcul paradifférentiel tel qu'introduit par Bony, son lien avec les paraproduits de Coifman et Meyer et l'analyse microlocale de Kahn-Nirenberg et Hi:irmander, ainsi que ses applications récentes aux équations non linéaires, aux théories de conjugaison (théorèmes KAM) et aux problèmes de régularité dans la théorie des équations elliptiques.

Bibliographie:
J.-M. Bony. Calcul symbolique et propagation des singularités pour les équations aux dérivées partielles non linéaires. Annales scientifiques de l'ENS, 1981.
S. Alinhac, P. Gérard. Pseudo-differential Opemtors and the Nash-Moser Theorem. American Mathematical Society, 2007.
G. Métivier. Pam-differential calculus and applications to the Cauchy prnblem for nonlinear systems. Centra di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Pisa.
M. Taylor. Pseudodifferential Opemtors and Nonlinear PDE. Birkhauser, 1991.
R. Coifman, Y. Meyer. Wavelets : Calderon-Zygmund and Multilinear Opemtors. Cambridge University Press, 1997.
T. Alazard, C. Shao. KAM via Standard Fixed Point Theorems. Preprint, arXiv :2312.13971, 2023.