Descriptif

Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique à travers l'exemple des courbes elliptiques, c'est-à-dire des courbes projectives planes non singulières définies par une équation de degré 3. Une propriété remarquable de ces courbes elliptiques est que leurs ensembles de points peuvent être munis d'une loi de groupe. La première partie du cours sera consacrée à la présentation du langage des variétés algébriques, plus précisément au théorème des zéros de Hilbert et à la géométrie projective. Quelques exemples du théorème d'intersection de Bezout seront étudiés. La seconde partie sera consacrée aux propriétés des courbes algébriques planes et plus particulièrement des courbes elliptiques. Les propriétés des courbes elliptiques seront étudiées sur différents corps : sur le corps des nombres complexes, où les courbes elliptiques s'identifient à des quotients de C par des réseaux; sur les corps finis, avec le théorème de Hasse qui donne une estimation du nombre de points de ces courbes elliptiques; et sur le corps des nombres rationnels, avec le célèbre théorème de Mordell. L'étude des courbes elliptiques sur les corps finis sera illustrée de quelques applications, à la cryptographie et aux algorithmes de factorisation. Dans le cas du corps des nombres rationnels, quelques exemples concrets où le groupe des points rationnels est déterminable seront étudiés. 

Bibliographie

Langue du cours : Français ou Anglais