Descriptif
Les méthodes numériques sont désormais omniprésentes dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie, notamment en mécanique. Elles permettent d'optimiser la forme ou la résistance des voitures, des avions et des ponts; d’optimiser des traitements en construisant des modèles personnalisés d'organes; etc. Elles permettent également d'étudier des phénomènes physiques à des niveaux de détails difficilement accessibles par des méthodes expérimentales. Avec l'avancée des ordinateurs, ils sont devenus un autre langage requis pour les scientifiques et les ingénieurs.
Ce cours fournit une introduction approfondie aux méthodes numériques utilisées pour résoudre les problèmes de mécanique des milieux continus (équations linéaires/non linéaires, équations différentielles ordinaires/partielles, problèmes avec valeur initiale/valeur au bord, etc.). Il se situe dans la continuité directe de MEC431. Nous présenterons et analyserons les aspects fondamentaux des méthodes (par exemple, la consistance, la stabilité et la convergence des schémas numériques), et les illustrerons toujours sur des exemples pratiques. Nous aborderons les problèmes de structures de poutres (1D), de plaques (2D) et de solides (3D), statiques et dynamiques, linéaires et non linéaires, dans divers domaines d'application (physique, ingénierie, biomédical, etc.).
Objectifs pédagogiques
À la fin du cours, les étudiants devraient être capables de:
- Nommer, décrire et critiquer les principales méthodes numériques utilisées en mécanique;
- Utiliser les méthodes et outils numériques modernes pour résoudre les problèmes de mécanique en physique et en ingénierie, tout en comprenant et en contrôlant les hypothèses et les approximations sous-jacentes;
- Développer et mettre en œuvre de nouvelles méthodes pour des problèmes donnés sous des contraintes et des objectifs donnés.
Diplôme(s) concerné(s)
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Requis : MEC431 Recommandé : MAP412
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme M1 - Mechanics
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 3 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
QCM ; Devoirs maisons ; Projets en groupes
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Programme détaillé
La première partie du cours est conjointe avec MEC552A. Elle traitera des méthodes de calcul de base pour résoudre:
- Les équations différentielles ordinaires (schémas d'intégration numérique);
- Les équations non linéaires et les problèmes de minimisation (méthode de Newton-Raphson);
- Les systèmes d'équations algébriques (méthodes directes et itératives).
La deuxième partie se concentrera sur la méthode des éléments finis, qui est une méthode d’approximation très générale pour les problèmes aux valeurs au bord et les équations aux dérivées partielles. Elle est née et est très largement utilisée en mécanique, mais est également présente dans de nombreux domaines de la science et de l'ingénierie. Nous présenterons et analyserons les principaux ingrédients théoriques de la méthode:
- Formulation variationnelle;
- Discrétisation (résultats de convergence);
Ainsi que les ingrédients pratiques de toute mise en œuvre efficace de la méthode:
- Maillages/Triangulation;
- Fonctions de forme et degrés de liberté;
- Intégration numérique;
- Assemblage;
- Post-traitement.
Chaque aspect sera illustré sur les problèmes mécaniques réels des poutres (1D), des plaques (2D) et des structures solides (3D). Nous étudierons les problèmes statiques aussi bien que dynamiques, les problèmes linéaires et non linéaires.
Séances de cours suivi de mise en œuvre en Python dans des notebooks Jupyter. Au fur et à mesure, on utilise des librairies de calculs libres pour faire vite et bien les briques de calcul étudiées précédemment ; à la fin les étudiants peuvent utiliser les outils de calculs les plus performants tout en maîtrisant toutes les étapes du calcul.
