v2.11.0 (5380)

PA - C2B - MAT562 : Introduction à la géométrie algébrique et courbes elliptiques

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique et à la géométrie arithmétique à travers l'exemple des courbes elliptiques, c'est-à-dire des courbes projectives planes non singulières définies par une équation de degré 3. Une propriété remarquable de ces courbes elliptiques est que leurs ensembles de points peuvent être munis d'une loi de groupe. La première partie du cours sera consacrée à la présentation du langage des variétés algébriques, plus précisément au théorème des zéros de Hilbert et à la géométrie projective. Quelques exemples du théorème d'intersection de Bezout seront étudiés. La seconde partie sera consacrée aux propriétés des courbes algébriques planes et plus particulièrement des courbes elliptiques. Les propriétés des courbes elliptiques seront étudiées sur différents corps : sur le corps des nombres complexes, où les courbes elliptiques s'identifient à des quotients de C par des réseaux; sur les corps finis, avec le théorème de Hasse qui donne une estimation du nombre de points de ces courbes elliptiques; et sur le corps des nombres rationnels, avec le célèbre théorème de Mordell. L'étude des courbes elliptiques sur les corps finis sera illustrée de quelques applications, à la cryptographie et aux algorithmes de factorisation. Dans le cas du corps des nombres rationnels, quelques exemples concrets où le groupe des points rationnels est déterminable seront étudiés. 

 

Bibliographie

  1. 1. J. H. Silverman, Arithmetic of elliptic curves. Graduate Texts in Mathematics, 106. Springer-Verlag, New York, 1986.
  2. L. C. Washington, Elliptic curves, Number theory and cryptography. Second edition. Discrete Mathematics and its Applications, Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, FL, 2008.
  3. M. Hindry, Arithmétique, Calvage & Mounet, Cambridge University Press, 2008.
  4. J. H. Silverman et J. Tate, Rational points on elliptic curves, Springer-Verlag, New York, 1992.

Niveau requis : Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5

Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI

Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

Il est  fortement conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois).

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme Echanges PEI

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
    L'UE est acquise si note finale transposée >= C
    • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

    Pour les étudiants du diplôme Diplôme d'ingénieur de l'Ecole polytechnique

    Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
      L'UE est acquise si note finale transposée >= C
      • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

      La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

      Pour les étudiants du diplôme M1 - Mathematiques Jacques Hadamard

      Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)
        L'UE est acquise si note finale transposée >= C
        • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
        Veuillez patienter