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Programme détaillé

1. UNIVERSALITÉ ET LOIS D'ÉCHELLE : une approche probabiliste.

Nous étudierons l’émergence de lois d’échelle universelles en théorie des probabilités : Loi des grands nombres, Théorème de la limite centrale, Distributions stables de Lévy, Distributions limites du maximum et minimum de variables aléatoires identiques et indépendantes. Nous conclurons par une introduction aux matrices aléatoires (loi de Wigner).

2. MOUVEMENT BROWNIEN, ÉQUATION DE LANGEVIN ET INTÉGRALES DE CHEMIN.

Après avoir examiné le mouvement brownien (du point de vue physique), nous présenterons
l’équation de Langevin, modèle de toute équation différentielle stochastique. Nous
définirons la mesure de Wiener et les intégrales de chemins, outils fondamentaux pour
l’analyse contemporaine et la physique théorique. Ces concepts seront appliqués
à l'analyse d'un modèle simple d'évolution d'un actif et à une preuve de la Loi d’Arrhenius.

3. GÉOMÉTRIE ALÉATOIRE ET FRACTALES.

Les fractales sont des objets géométriques, de dimension non-entière, qui présentent
naturellement des propriétés d'invariance d’échelle. Leur version aléatoire permet
de définir de nouvelles classe de processus stochastiques qui généralisent
le mouvement brownien et sont utilisées pour décrire les séries temporelles
apparaissant dans des contextes divers (données climatiques et géologiques, finance...).

4. DYNAMIQUE STOCHASTIQUE.

Le but de ce chapitre plus théorique est d'étudier les propriétés de réversibilité des Processus de Markov et d'obtenir les équations de diffusion associées à un système d'équations stochastiques, avec des applications aux processus de croissance aléatoire, en particulier la dynamique de Kardar-Parisi-Zhang.

5. THÉORIE DE L’INFORMATION.

Nous présenterons les concepts de base de la théorie de l’information et de la communication : entropie, codage, transmission, modèles de canaux bruités, information mutuelle et
capacité. Diverses interprétations de l’entropie de Shannon seront
données et nous démontrerons le théorème fondamental de codage de Shannon.

6. SYSTÈMES DÉSORDONNÉS.

La mécanique statistique des systèmes désordonnés permet de développer une variété de
concepts et techniques originales, allant de l'optimisation combinatoire à
l’ingénierie, avec des applications à la physique de l’état solide
(conduction quantique, localisation), à la biologie (protéines et réseaux neuronaux) ainsi qu'à la dynamique des populations. Nous discuterons des propriétés de base des verres de spin (paysage d'énergie complexe, frustration, vieillissement) et présenterons quelques outils théoriques spécifiques à ce domaine.

7. PHÉNOMÈNES CRITIQUES ET GROUPE DE RENORMALISATION.

Après avoir examiné divers phénomènes critiques du second ordre
(transition liquide-gaz, ferromagnétique-paramagnétique) , nous expliquerons comment définir
les classes d’universalité par des exposants critiques qui caractérisent l'invariance
d’échelle. Les idées de base du groupe de renormalisation de Ken Wilson
seront présentées (dans l’espace réel) afin d'expliquer comment ces exposants critiques
peuvent être reliés à des dimensions d’échelle de (deux) champs pertinents.
Cette théorie sera illustrée sur le modèle 2d Ising sur réseau triangulaire.

8. RÉSEAUX.

La théorie des réseaux a fourni un nouveau paradigme pour représenter et
analyser les données. Elle repose sur la théorie des graphes. Nous discuterons des
propriétés combinatoires élémentaires des graphes (théorème de Cayley, séquence de
Prufere) et nous considèrerons des processus d’arbres branchants (modèle de Galton) et récursifs.
Cela nous permettra d’étudier des réseaux invariants d’échelle et leurs propriétés de connectivité. Application à la transition de percolation dans le graphe d'Erdos-Renyi.

9. MODÈLES DE FINANCE.

Phénoménologie des marchés financiers : modèle de Bachelier et ses variantes. Statistiques des prix
et intermittence. Options et produits dérivés : la stratégie Black-Scholes.
Analyse en temps discret du modèle de Cox, Ross et Rubinstein et sa
limite continue. Formule de Black, Scholes et Merton.