La théorie algébrique des nombres est l’étude des propriétés arithmétiques des nombres algébriques. On s’intéresse notamment à la propriété de factorisation unique des éléments comme produits d’éléments premiers dans les anneaux de la forme ℤ[x] où x est un entier algébrique (l’anneau des entiers de Gauss ℤ[i] par exemple), ou mieux encore, dans l’anneau de tous les entiers algébriques d’un corps de nombres donné. Cette propriété a joué historiquement un rôle important dans l’étude des équations diophantiennes, par exemple dans le fameux travail de Kummer sur le Dernier Théorème de Fermat. Elle intervient aussi dans de nombreuses autres questions en apparence éloignées, comme la théorie entière des formes quadratiques, ou la théorie de la multiplication complexe. Il se trouve que la propriété de factorisation unique ne persiste en général qu’au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que son défaut peut être mesuré par un groupe abélien fini, le groupe des classes d’idéaux, dont les mystères sont encore au coeur de l’arithmétique moderne. 

L'objectif de ce cours consistera dans un premier temps à se familiariser avec ces objets en étudiant leurs propriétés de manière générale et en les illustrant sur des exemples concrets. On introduira ainsi les anneaux d'entiers des corps de nombres, on étudiera leur structure et on démontrera la propriété de factorisation unique des idéaux. On se penchera tout particulièrement sur le cas des entiers quadratiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x de degré 2, et sur le cas des entiers cyclotomiques, c’est-à-dire des anneaux de la forme ℤ[x] avec x une racine de l'unité. 

Une fois ce cadre mis en place, on s'intéressera à ce que l'on appelle la géométrie des nombres. Développée par Minkowski, elle permet d'étudier les réseaux dans un espace vectoriel réel de dimension finie. On utilisera cette théorie pour démontrer deux importants théorèmes de la théorie algébrique des nombres: la finitude du groupe des classes d’idéaux et le théorème des unités de Dirichlet. De nombreuses applications (liées par exemple à la représentation d'entiers comme sommes de carrés ou à la résolution d'équations diophantiennes) illustreront le cours.

Dans la deuxième partie du cours, on abordera la preuve du célèbre théorème de Hasse-Minkowski affirmant la validité du principe local-global pour les formes quadratiques à coefficients rationnels. Cela nécessitera l'introduction des nombres p-adiques, ainsi que la théorie des fonctions L afin de démontrer et utiliser le théorème des progressions arithmétiques de Dirichlet.

Pour suivre ce cours, il est recommandé d'avoir suivi le cours de théorie de Galois en deuxième année.

Plan du cours :

• Chapitre 1: notions d’algèbre commutative ;
• Chapitre 2: corps de nombres et anneaux d’entiers ;
• Chapitre 3: nombres p-adiques ;
• Chapitre 4: formes quadratiques et théorème de Hasse-Minkowski ;
• Chapitre 5: fonctions L et théorème des progressions arithmétiques de Dirichlet.

Bibliographie :

• K. Ireland and M. Rosen, A Classical Introduction to Modern Number Theory, Springer GTM 84 ;
• J. Neukirch, Algebraic Number Theory ;
• P. Samuel, Théorie algébrique des nombres, Hermann ;
• J.-P. Serre , Cours d’arithmétique ;
• C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae.

Niveau requis : Pour suivre ce cours, il est recommandé d'avoir suivi le cours de théorie de Galois en deuxième année.

Exemples de sujet d’EA :

• Entiers de la forme x^2+ny^2 ;
• Fonctions L p-adiques ;
• Cohomologie galoisienne ;
• Formes modulaires ;
• Théorème de Kronecker-Weber ;
• Adèles et idèles ;
• Caractères de Hecke et leurs fonctions L ;
• Théorème des nombres premiers ;
• Packings d’Apollonius.

Langue du cours : polycopié en anglais, cours en français ou anglais selon la demande.