Descriptif

Ce cours introduit des notions fondamentales d’algèbre. Une première partie est consacrée aux groupes finis et à leurs représentations linéaires (sur le corps des complexes). On y démontre les résultats principaux du sujet :

lemme de Schur, théorème de Maschke, théorème de Peter-Weyl, formule de Plancherel, orthogonalité des caractères… Le point de vue adopté est l’utilisation de la convolution et de la transformation de Fourier.

Dans une seconde partie, on s’intéresse aux anneaux A (non nécessairement commutatifs) et aux modules sur ces anneaux. Nous développons sous certaines hypothèses de finitude, quelques méthodes de classification (suites de composition, étude des extensions, etc). Nous considérons le cas où  A est principal et nous en déduisons, par exemple, la classification des groupes abéliens de type fini ou des classes de conjugaison de GL(n,k). 

Dans une troisième et dernière partie, nous étudions les algèbres semi-simples et leur représentations, puis nous appliquons ceci à la théorie des représentations linéaires des groupes finis, mais cette fois sur un corps quelconque, ce qui généralise les résultats de la première partie.

Nous essayons au fil de ce cours d’introduire progressivement et sans formalisme excessif le langage, les concepts et les outils de la théorie des catégories, devenus indispensables à toute présentation avancée de nombreux domaines des mathématiques. La théorie des représentations se prête remarquablement à cette première approche.

 

Plan du cours
 

 I- Groupes et représentations

I-1 Groupes et actions de groupes. Vocabulaire.

I-2 Représentations linéaires des groupes finis : exemples, opérations sur les représentations, lemme de Schur,

théorème de Maschke.

I-3 Algèbre de convolution. Transformation de Fourier. Théorème de Peter-Weyl. Formule de Plancherel.

I-4 Fonctions centrales et caractères.

I-5 Représentations induites

II- Anneaux et modules

II-1 Anneaux, idéaux, modules : exemples, vocabulaire de base

II-2 Opérations sur les modules. Atomisation et reconstruction. Suites de Jordan-Hölder

 II-3 Modules sur un anneau principal. Théorème de structure et applications (classification des groupes abéliens de type fini, classes de conjugaison de  GL(n,k), etc.)

III- Anneaux et algèbres semi-simples.

III-1 Anneaux semi-simples. Idempotents

III-2 Algèbres semi-simple et applications à la théorie des représentations des groupes.

 
Niveau requis :

Il est conseillé d'avoir manipulé les objets algébriques de base (algèbre linéaire, groupes, anneaux, corps, notion de quotient) et, notamment, d’avoir validé le cours MAT 451 (Algèbre et théorie de Galois). 

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5