Descriptif

Les simulations numériques sont de plus en plus utilisées pour la modélisation de systmes physiques, chimiques ou biologiques, mais également des systmes économiques ou financiers.
Elles permettent de limiter le risque et d'éviter le coét d'expériences réelles (essais de crash de voitures).
Elles peuvent intervenir ˆ differentes étapes d'un projet industriel ou économique : lors de conception d'un avant-projet, lors de l'optimisation du projet final, et lors de la validation du projet abouti.
Il se pose alors la question de la confiance que l'on peut avoir en les prédictions et les décisions issues de telles simulations.
En effet de nombreuses sources d'incertitudes existent : incertitudes sur certains paramtres physiques, sur les conditions environnementales, sur les erreurs de fabrication, sur les phénomnes pris en compte ou négligés et leur modélisation.
L'objectif de ce cours est de présenter des méthodes mathématiques permettant de modéliser, de caractériser et d'analyser les incertitudes dans des simulations numériques.

Plan :

0) introduction
``uncertainy quantification"
sources d'incertitudes
propagation d'incertitudes
métamodélisation ou construction de surfaces de réponses
analyse de sensibilité
optimisation robuste
problèmes inverses

1) propagation d'incertitudes
modélisation probabiliste des sources d'incertitudes
identification des lois : méthodes paramétriques, méthodes non-paramétriques ˆ noyaux, entropie
modélisation de la propagation des incertitudes; méthodes quadratiques

2) échantillonnage et quadrature pour l'évaluation des premiers moments
comparaisons méthodes de quadrature versus Monte Carlo
quasi Monte Carlo
réduction de variance
méthodes MCMC pour l'échantillonnage en grande dimension

3) analyse de risque
méthodes fiabilistes
simulation d'événements rares par Monte Carlo
estimation de quantiles; quantile de Wilks

4) métamodélisation et régression linéaire généralisée
ajustement d'un métamodle par moindres carrés
évaluation des résidus et validation du métamodle

5) métamodélisation par polynômes de chaos
polynômes de Wiener
polynômes de chaos généralisés
estimation des coefficients des polynômes et validation du métamodle

6) régression par processus gaussiens
krigeage simple
krigeage universel
sélection des hyper-paramtres
optimisation robuste

7) analyse de sensibilité
analyse de la variance
indices de Sobol
calcul et estimation des indices de Sobol

8) problmes inverses
résolution de problmes inverses mal posés
régularisation et approche bayésienne
consistance et normalité asymptotique du maximum a posteriori
échantillonnage des distributions a posteriori