Descriptif

Un enjeu fondamental du programme de Mathématiques Appliquées est de modéliser et simuler des systèmes complexes pour comprendre leur comportement qualitatif et quantitatif. 

 Ce cours introduit des méthodes probabilistes effectives de calcul et de simulation, principalement axées sur les processus à temps continu, avec dynamique linéaire puis non-linéaire ("interactions entre particules"). Un souci permanent est leur validation, leur efficacité numérique et leur illustration dans les situations concrètes, tirées notamment de l’ingénierie financière, l'écologie évolutive, les réseaux de communication, la mécanique des fluides, la physique et la chimie, entre autres… Ces méthodes ont pris une importance déterminante dans des domaines applicatifs stratégiques variés.

Le cours est découpé en trois parties de difficulté progressive.

Partie A : boîte à outils pour la simulation

- Simulation de variables aléatoires: Générateur de nombres pseudo-aléatoires, Simulation de variable aléatoire unidimensionnelle, Méthode de rejet, Simulation d’un vecteur aléatoire, Copules.
- Convergences et estimations d’erreur: Loi des grands nombres, Théorème de la limite centrale et conséquences, Concentration type log-Sobolev (cas gaussien), Estimations non-asymptotiques, Déviations et loi des grands nombres unifomes.
- Réduction de variance: Echantillonnage antithétique, Conditionnement et stratification, Variables de contrôle, Echantillonnage préférentiel, méthodes de Quasi-Monte-Carlo.

Partie B : simulation de processus linéaires
- Mouvement brownien et équation de la chaleur. Simulation du brownien (méthode progressive, pont brownien, Fourier)
- Equations différentielles stochastiques simples (EDO avec bruit brownien additif). Formules de Feynman-Kac.
- Schéma d’Euler: Définition et simulation, Convergence au sens fort, Convergence au sens faible.
- Erreur statistique dans la simulation des équations différentielles stochastiques: Analyse asymptotique en nombre de simulations et pas de temps, Analyse non asymptotique (concentration)
- Réductions de variance: Méthode multi-niveaux simple et randomisée, Variables de contrôle.

Partie C : simulation de processus non-linéaires
- Espérance conditionnelle imbriquée. Simulations dans les simulations.
- Equation de programmation dynamique en contrôle.
- Simulation par régression empirique:  difficultés d’une approche naïve (fléau de la dimension), contrôle non-asymptotique, algorithme data-driven.
- Modèles stochastiques en interaction.

Organisation du cours: 

- 9 cours magistraux de 2h

- 9 séances d'exercice de 2h, dont certaines sur ordinateur portable pour mettre en oeuvre les algorithmes de simulation. Les codes seront écrits en Python mais aucun preréquis Python n'est demandé: une mini-formation Python, un tutoriel et des démonstrations de simulation seront fournis au début du cours. Des exemples d'applications industrielles seront donnés pendant les cours.

Niveau requis : MAP 432 (Modélisation de phénomènes aléatoires) ou MAP 433 (Statistiques)

Modalités d'évaluation : contrôle continu et examen final. 

Langue du cours : Français

Blog du cours accessible via : http://montecarlo-polytechnique.blogspot.fr

Credits ECTS : 4