L’objectif du cours est de donner un panorama assez général de l’étude des espaces de Banach et des opérateurs entre espaces de Banach.

Le cours commence par des considérations géométriques : étude des convexes, Théorème de Helly, Théorème de séparation des convexes de Hahn-Banach, Théorème de Krein-Milman.

Puis, il se poursuit par l’étude des théorèmes qui forment le socle de l’analyse fonctionnelle : Lemme de Baire, Théorème de Banach-Steinhaus, Théorème de l’application ouverte et Théorème du graphe fermé.

Nous ouvrons ensuite un chapitre important sur l’étude des topologies faibles et des topologies faibles-∗, ce qui nous amènera à l’énoncé du Théorème de Banach-Alaoglu (qui permet de “récupérer" un peu de compacité dans les espaces de dimension infinie).

Après nous être un peu égarés dans l’étude des espaces de Banach très généraux, nous verrons dans quelle mesure les espaces “réflexifs” et les espaces “séparables” constituent une classe intéressante d’espaces de Banach, car ils jouissent de propriétés agréables.

Le chapitre suivant est consacré à l’étude des algèbres de Banach qui unifient sous une même bannière plusieurs cas particuliers que vous avez peut-être déjà vus (par exemple, l'exponentielle d'une matrice ou d'un endomorphisme). Ce chapitre culmine avec la preuve en trois lignes (mais qui nécessite d’avoir compris les 10 pages précédentes) d’un beau résultat sur les séries de Fourier.

Le cours se termine sur l’étude du spectre des opérateurs avec en particulier l’alternative de Fredholm, le spectre des opérateurs compacts pour terminer avec l’étude des opérateurs de Fredholm, qui généralisent en dimension infinie, les résultats que vous connaissez bien sur les applications linéaires entre espaces vectoriels de dimension finie.