Descriptif
Un enjeu fondamental du programme de Mathématiques Appliquées est de modéliser et simuler des systèmes complexes pour comprendre leur comportement qualitatif et quantitatif.
Ce cours introduit des méthodes probabilistes effectives de calcul et de simulation, principalement axées sur les processus à temps continu, avec dynamique linéaire puis non-linéaire ("interactions entre particules"). Un souci permanent est leur validation, leur efficacité numérique et leur illustration dans les situations concrètes, tirées notamment de l’ingénierie financière, l'écologie évolutive, les réseaux de communication, la mécanique des fluides, la physique et la chimie, entre autres… Ces méthodes ont pris une importance déterminante dans des domaines applicatifs stratégiques variés.
Modalités d'évaluation : contrôle continu et examen final.
Langue du cours : Français
Blog du cours accessible via : http://montecarlo-polytechnique.blogspot.fr
effectifs minimal / maximal:
/120Diplôme(s) concerné(s)
- M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
- Programmes d'échange internationaux
- Non Diplomant
- Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Parcours de rattachement
Objectifs de développement durable
ODD 7 Energie propre et d’un coût abordable.Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vous devez avoir validé l'équation suivante : 1 parmi APM_41033_EP, APM_42032_EP
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Il est nécessaire d'avoir suici au moins un cours par mi MAP432, MAP433
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Non Diplomant
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Programme détaillé
Le cours est découpé en trois parties de difficulté progressive.
Partie A : boîte à outils pour la simulation
- Simulation de variables aléatoires: Générateur de nombres pseudo-aléatoires, Simulation de variable aléatoire unidimensionnelle, Méthode de rejet, Simulation d’un vecteur aléatoire, Copules.
- Convergences et estimations d’erreur: Loi des grands nombres, Théorème de la limite centrale et conséquences, Concentration type log-Sobolev (cas gaussien), Estimations non-asymptotiques, Déviations et loi des grands nombres unifomes.
- Réduction de variance: Echantillonnage antithétique, Conditionnement et stratification, Variables de contrôle, Echantillonnage préférentiel, méthodes de Quasi-Monte-Carlo.
Partie B : simulation de processus linéaires
- Mouvement brownien et équation de la chaleur. Simulation du brownien (méthode progressive, pont brownien, Fourier)
- Equations différentielles stochastiques simples (EDO avec bruit brownien additif). Formules de Feynman-Kac.
- Schéma d’Euler: Définition et simulation, Convergence au sens fort, Convergence au sens faible.
- Erreur statistique dans la simulation des équations différentielles stochastiques: Analyse asymptotique en nombre de simulations et pas de temps, Analyse non asymptotique (concentration)
- Réductions de variance: Méthode multi-niveaux simple et randomisée, Variables de contrôle.
Partie C : simulation de processus non-linéaires
- Espérance conditionnelle imbriquée. Simulations dans les simulations.
- Equation de programmation dynamique en contrôle.
- Simulation par régression empirique: difficultés d’une approche naïve (fléau de la dimension), contrôle non-asymptotique, algorithme data-driven.
- Modèles stochastiques en interaction.