Descriptif

La théorie algébrique des nombres est l'étude des propriétés algébro-arithmétiques des nombres algébriques. On s'intéresse notamment à la propriété de factorialité, c'est à dire de "factorisation unique des éléments comme produits d'éléments premiers", dans les anneaux de la forme Z[x] où x est un "entier algébrique", comme par exemple Z[i] (entiers de Gauss), Z[2^{1/3}] etc... Cette question intervient de manière cruciale dans l'étude des équations diophantiennes, l'exemple historique le plus fameux étant l'approche de Kummer (et Fermat?) pour démontrer le "dernier théorème" de Fermat, mais aussi dans de nombreuses autres questions comme la théorie entière des formes quadratiques, la réduction des endomorphismes à coefficients entiers, la théorie de la multiplication complexe ... Il se trouve que la propriété de factorialité ne persiste en général qu'au sens des idéaux (Kummer, Dedekind), et que le défaut de factorialité peut être mesuré par un groupe abélien fini "le groupe des classes d'idéaux" dont les mystères sont encore au coeur de l'arithmétique moderne.

Le cas des "entiers quadratiques", c'est à dire de Z[x] avec x^2=d entier, est historiquement le plus important et sera étudié en détail. La théorie contient alors celle des formes quadratiques binaires entières (Lagrange, Legendre, Gauss). Par exemple, il est connu depuis Fermat que si p est un nombre premier avec p = 1 modulo 4, c'est a dire si -1 est un carré modulo p, alors p est somme de deux carrés. Comment expliquer que si -5 est un carré modulo p, c'est a dire p = 1,3,7,9 modulo 20, alors p est exclusivement soit de la forme x^2 + 5 y^2, soit de la forme 2 x^2 + 2 xy + 3 y^2 (avec x,y entiers) ? (Euler, Lagrange). Nous obtiendrons de multiples énoncés de ce type. Cela nous conduira enfin à la notion de "genre" des formes quadratiques (Lagrange, Gauss), point de départ de la fameuse théorie du corps de classes.


Quelques notions abordées : corps de nombres, entiers algébriques, anneau de Dedekind, groupe des classes d'idéaux, théorème des unités de Dirichlet, formes quadratiques binaires entières, formules du nombre de classes et du nombre de genre.

Bibliographie :

- K. Ireland and M. Rosen, Springer, "A Classical Introduction to Modern Number Theory", GTM 84

- David A. Cox., J. Wiley & Sons, "Primes of the form x + ny; Fermat, class field theory, and complex multiplication".

- P. Samuel, Hermann, "Théorie algébrique des nombres".

Langue du cours : Français

Credits ECTS : 5