UE APM_4ANA2_TA | Catalogue 2024-2025

Descriptif

Nous introduirons dans ce cours les principales notions mathématiques relatives à l'étude du spectre d'un opérateur autoadjoint. Ce spectre peut comporter à la fois une partie continue et une partie discrète, formée de valeurs propres. Nous montrerons que le Principe du Min-Max permet d'accéder à des informations qualitatives et quantitatives très précises sur ces valeurs propres (résultats d'existence, encadrement).
Tout au long du cours, nous montrerons comment cette théorie s'applique à divers problèmes physiques, notamment à l'étude des guides d'ondes. Nous nous intéresserons plus particulièrement à l'étude des guides dits ouverts, dont la fibre optique constitue un exemple important.

Objectifs pédagogiques

Être capable de mettre en oeuvre les principales notions et théorèmes de la théorie spectrale sur divers modèles de propagation d'ondes.

42 heures en présentiel

Diplôme(s) concerné(s)

M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

Parcours de rattachement

M1MATHJHADA - Semestre 2 - Electifs hors maquette

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade réduit

Pour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard

L'UE est acquise si Note finale >= 10

Crédits ECTS acquis : 4 ECTS

Programme détaillé

1. Cours : Introduction aux guides d'ondes. La notion d'opérateur non borné. / TD : Exemples monodimensionnels de guides d'ondes. Exemples d’opérateurs bornés ou non bornés, fermés ou non fermés, calcul d’adjoints.
2. Cours : Opérateurs autoadjoints : définition et caractérisation. Ensemble résolvant et spectre (ponctuel, résiduel, continu). / TD : Caractère autoadjoint de l’opérateur scalaire des modes guidés. Spectre de l’opérateur de multiplication dans L2. Spectre de l’opérateur de translation sur l2.
3. Cours : Notions de compacité et de convergence faible dans un espace de Hilbert. Opérateurs compacts ou à résolvante compacte. / TD : Exercices.
4. Cours : Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints compacts. / TD : Applications.
5. Cours : Étude des guides d’ondes fermés. / TD : Formules de min-max.
6. Cours : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : définition et caractérisation du spectre essentiel. / TD : Démonstration du théorème de Weyl. Détermination du spectre essentiel pour le problème de la fibre optique.
7. Cours : Spectre des opérateurs autoadjoints non compacts : relations entre l’image numérique et le spectre, application à la preuve de l’existence de valeurs propres. / TD : Etude du mode fondamental d’une fibre optique.
8. Cours : Principe du Min-Max. / TD : Principe de comparaison de Dirichlet.
9. Cours : Le théorème spectral : décomposition spectrale d’un opérateur autoadjoint. TD : La formule de Stone.
10 : Réinventer la transformée de Fourier.
11 : Séance de révision.
12 : Examen final

Mots clés

opérateur autoadjoint, compacité, spectre discret, spectre essentiel, principe du min-max

Méthodes pédagogiques

polycopié et énoncés de TD

Cours scientifiques - APM_4ANA2_TA : Théorie spectrale des opérateurs autoadjoints