Descriptif
L’équation des ondes est présente dans la modélisation de nombreux systèmes physiques : cordes vibrantes, électromagnétisme... En relativité générale, l’équation des ondes peut être vue comme une première approximation des équations d’Einstein pour décrire la propagation des déformations de l’espace-temps.
Dans ce cours, nous commencerons par introduire les bases de géométrie riemannienne et lorentzienne nécessaires à la formulation de la théorie de la relativité générale. Celle-ci sera ensuite introduite brièvement (les élèves sont invités à suivre en parallèle le cours PHY568 pour une présentation physique plus approfondie). La deuxième partie du cours sera sur l'étude des équations des ondes : dans l'espace-temps de Minkowski, en espace-temps courbe, puis non linéaire, afin de donner un aperçu du caractère bien posé des équations d'Einstein
Bibliographie
-J. Lee, Riemannian manifolds, Springer
-R. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press.
-L. Evans, Partial differential equations, AMS
Langue du cours : Français ou Anglais
Objectifs pédagogiques
Introduire des notions fondamentales de géométrie Riemannienne et d'analyse de l'équation des ondes.
effectifs minimal / maximal:
5/25Diplôme(s) concerné(s)
- M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
- M1 PHYS - Physique
- Programmes d'échange internationaux
- Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Parcours de rattachement
Pour les étudiants du diplôme M1 PHYS - Physique
Des notions de calcul différentiel, et d'analyse fonctionnelle (Espaces de Sobolev)
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Des notions de calcul différentiel, et d'analyse fonctionnelle (Espaces de Sobolev)
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Il est recommandé d'avoir suivi MAT432 ou MAT452, éventuellement MAT431
Format des notes
Numérique sur 20Littérale/grade réduitPour les étudiants du diplôme M1 MJH - Mathématiques Jacques Hadamard
L'UE est acquise si Note finale >= 10- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme M1 PHYS - Physique
Vos modalités d'acquisition :
Devoir maison et examen, ou exposé (à discuter avec l'enseignant)
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Pour les étudiants du diplôme Titre d’Ingénieur diplômé de l’École polytechnique
Vos modalités d'acquisition :
Devoir maison et examen
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.
Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux
Vos modalités d'acquisition :
Devoir maison et examen, ou exposé (à discuter avec l'enseignant)
Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée)- Crédits ECTS acquis : 5 ECTS
Programme détaillé
Cours 1. Variétés différentielles, espace tangent.
Cours 2. Fibré tangent, fibré cotangent, tenseurs, dérivée de Lie.
Cours 3. Métrique, géodésiques, tenseur de courbure, isométries.
Cours 4. Géométrie Lorentzienne et relativité générale.
Cours 5. Formulation 3+1 des équations d'Einstein. Introduction à l'équation des ondes.
Cours 6. L'équation d'onde linéaire et les espaces de Sobolev.
Cours 7. Existence locale de solution pour un problème semi-linéaire.
Cours 8. Le théorème de Choquet-Bruhat.
Cours 9. Comportement en temps long des solutions.