Descriptif

FMA_3X061_EP — Les grandes notions de l’Analyse

Comment une équation qui ne décrit qu’un instant parvient-elle à prédire une trajectoire entière ? Pourquoi un réseau de neurones sait-il approcher presque n’importe quelle fonction ? Que calcule au juste un ordinateur quantique ? La réponse tient en un petit nombre de grandes notions de l’Analyse, celles qui savent ramener un problème difficile à un problème simple.

Que l’on souhaite ou non poursuivre l’étude des mathématiques, ce cours de tronc commun apporte des fondations à qui veut aller plus loin, et des outils que l’on retrouvera partout. Il se déroule en quatre temps.

1. Mesurer l’écart. Pour dire que deux fonctions sont proches, il faut choisir une distance entre fonctions. Nous étudierons la topologie des espaces vectoriels normés en insistant sur trois notions. La densité permet de remplacer une fonction quelconque par une fonction simple, et c’est elle qui explique pourquoi un réseau de neurones peut approcher toute fonction continue. La complétude garantit qu’une limite existe avant même qu’on la connaisse. La compacité assure qu’un minimum est atteint.
2. Prédire. Cauchy, professeur à l’École polytechnique, a posé les fondements rigoureux de la théorie des équations différentielles. Le théorème de Cauchy-Lipschitz assure l’existence et l’unicité des solutions, et sa démonstration moderne ramène leur résolution à la recherche d’un point fixe. Nous verrons que l’unicité peut être perdue lorsque ses hypothèses ne sont pas satisfaites, et qu’une solution peut exploser en temps fini. Deux exemples nous guideront : l’équation de Schrödinger, qui fait osciller les qubits des ordinateurs quantiques, et le flot de gradient, dont la discrétisation sert à entraîner les réseaux de neurones.
3. Intégrer. L’intégrale de Lebesgue est étudiée en parallèle dans le cours de mathématiques appliquées. Nous la reprendrons pour ce qu’elle apporte à l’Analyse, à savoir des théorèmes simples pour intervertir limite et intégrale, et les bons espaces de fonctions, enfin complets.
4. Décomposer. Dans un espace de Hilbert, la géométrie d’Euclide reste valable en dimension infinie, et la meilleure approximation est donnée par une projection. L’analyse de Fourier repose sur ce principe. Elle décompose un signal en ondes élémentaires et transforme la dérivation en multiplication. Nous en verrons deux applications, le principe d’incertitude de Heisenberg et la transformée de Fourier quantique. Celle-ci est au cœur de l’algorithme de Shor qui, sur un ordinateur quantique assez grand, permettrait de casser la plupart des systèmes de cryptographie à clé publique utilisés aujourd’hui.

Ces notions traversent les disciplines. Des pages interactives les illustreront.