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2.12.23 (872)

Cours scientifiques - FMA_3F003_EP : Algebra and Galois Theory

Domaine > Mathématiques.

Descriptif

Le cours Algèbre et théorie de Galois (FMA_3F003_EP) présente les concepts et outils fondamentaux de la théorie des anneaux et de l’arithmétique, en accordant une place particulière aux anneaux de polynômes et à la théorie des corps. L’étude des extensions de corps conduit à la théorie de Galois, qui permet d’en comprendre la structure à travers les groupes de symétries qui leur sont associés. Les séances d’exercices illustrent et approfondissent ces notions à travers de nombreux exemples issus de l’arithmétique et de la théorie des polynômes.

Prérequis : FMA_1F001_EP, APM_1S003_EP, FMA_2F001_EP, FMA_2S006_EP.

Objectifs pédagogiques

Objectifs pédagogiques

À l’issue du cours, les étudiants seront capables de :

  • Manipuler les notions fondamentales de la théorie des anneaux : idéaux, quotients, divisibilité et factorisation.

  • Étudier l’irréductibilité des polynômes et utiliser les polynômes minimaux pour construire et décrire des extensions de corps.

  • Analyser les propriétés d’une extension de corps, notamment son degré, sa normalité et sa séparabilité.

  • Déterminer des groupes de Galois dans des exemples explicites et appliquer la correspondance de Galois à l’étude des corps intermédiaires.

  • Mobiliser ces outils dans l’étude des corps finis, des extensions cyclotomiques et de la résolubilité des équations polynomiales par radicaux.

  • Construire des démonstrations rigoureuses en articulant raisonnement abstrait et calculs explicites.

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

FMA_1F001_EP, APM_1S003_EP, FMA_2F001_EP, FMA_2S006_EP.

Pour les étudiants du diplôme Bachelor of Science de l'Ecole polytechnique

Vous devez avoir validé l'équation suivante : UE FMA_2S006_EP

FMA_1F001_EP, APM_1S003_EP, FMA_2F001_EP, FMA_2S006_EP.

Règle d'exclusion : UE APM_3F007_EP

Format des notes

Numérique sur 20

Littérale/grade américain

Pour les étudiants du diplôme Bachelor of Science de l'Ecole polytechnique

Vos modalités d'acquisition :

Modalités d’évaluation

L’évaluation repose sur deux épreuves écrites :

  • Un examen intermédiaire de 2 heures, largement fondé sur les exercices étudiés en travaux dirigés, constitue la partie contrôle continu et compte pour 50 % de la note finale.

  • Un examen final de 2 heures compte pour les 50 % restants.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée écrêtée à une note seuil de 10)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 10
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    Note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Pour les étudiants du diplôme Programmes d'échange internationaux

Vos modalités d'acquisition :

Modalités d’évaluation

L’évaluation repose sur deux épreuves écrites :

  • Un examen intermédiaire de 2 heures, largement fondé sur les exercices étudiés en travaux dirigés, constitue la partie contrôle continu et compte pour 50 % de la note finale.

  • Un examen final de 2 heures compte pour les 50 % restants.

Le rattrapage est autorisé (Note de rattrapage conservée écrêtée à une note seuil de 10)
  • le rattrapage est obligatoire si :
    Note initiale < 10
  • le rattrapage peut être demandé par l'étudiant si :
    Note initiale < 10
L'UE est acquise si Note finale >= 10
  • Crédits ECTS acquis : 5 ECTS

La note obtenue rentre dans le calcul de votre GPA.

Programme détaillé

Programme détaillé

  1. Anneaux et morphismes. Anneaux, sous-anneaux, unités et diviseurs de zéro ; anneaux intègres et corps ; morphismes d’anneaux, noyaux et images.

  2. Idéaux et anneaux quotients. Idéaux et idéaux principaux ; construction et propriété universelle des quotients ; premier théorème d’isomorphisme ; exemples dans ℤ et les anneaux de polynômes.

  3. Arithmétique dans les anneaux intègres. Divisibilité, éléments associés, éléments irréductibles et premiers ; idéaux premiers et maximaux ; anneaux euclidiens et principaux.

  4. Factorisation et irréductibilité. Anneaux factoriels ; lemme de Gauss et factorisation sur ℤ et ℚ ; critères d’irréductibilité, notamment le critère d’Eisenstein.

  5. Extensions de corps et degré. Caractéristique et corps premiers ; sous-corps engendrés ; construction d’extensions à partir de polynômes irréductibles ; degré d’une extension et formule de la tour.

  6. Éléments algébriques et polynômes minimaux. Polynôme minimal ; description des extensions simples algébriques ; extensions finies et algébriques ; compositum de corps.

  7. Corps de décomposition et normalité. Existence et unicité des corps de décomposition ; notion de clôture algébrique ; extensions normales ; premiers exemples de corps finis et d’extensions cyclotomiques.

  8. Outils de théorie des groupes. Sous-groupes distingués et groupes quotients ; groupes symétriques et alternés ; actions de groupes, orbites et stabilisateurs ; treillis de sous-groupes.

  9. Séparabilité et plongements. Racines multiples et dérivation des polynômes ; extensions séparables et corps parfaits ; plongements et degré séparable ; théorème de l’élément primitif.

  10. Extensions galoisiennes et groupes de Galois. Automorphismes d’une extension ; caractérisations des extensions galoisiennes ; action sur les racines d’un polynôme ; automorphisme de Frobenius et groupes de Galois des corps finis et des extensions cyclotomiques.

  11. Correspondance de Galois. Corps fixes et théorème d’Artin ; théorème fondamental de la théorie de Galois ; correspondance entre corps intermédiaires et sous-groupes ; degrés, indices, normalité et groupes quotients.

  12. Calculs explicites et applications. Extensions biquadratiques ; corps de décomposition de X³ − 2 ; discriminants et groupes de Galois des polynômes cubiques ; exemples finis et cyclotomiques ; détermination des corps intermédiaires.

  13. Groupes résolubles et résolution par radicaux. Série dérivée et groupes résolubles ; exemples des groupes S₃, S₄ et A₅ ; lien entre résolubilité du groupe de Galois et résolution par radicaux ; impossibilité de résoudre par radicaux l’équation générale de degré cinq.

Mots clés

Anneaux et idéaux ; polynômes et irréductibilité ; extensions de corps ; théorie des groupes ; théorie de Galois ; corps finis ; extensions cyclotomiques ; résolution par radicaux.

Méthodes pédagogiques

Cours magistraux et travaux dirigés
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